Chapter 3 – दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म
Pair of Linear Equations in Two Variables: Complete Notes, Graphs, Methods and Solved Examples
Class 10 Maths Chapter 3 Notes में दो चरों वाले रैखिक समीकरण, रैखिक समीकरण युग्म, आलेखीय निरूपण, संगत-असंगत समीकरण, हल की प्रतिस्थापन, विलोपन और वज्र-गुणन विधियाँ तथा शब्द-समस्याएँ पूर्ण रूप से समझाई गई हैं।
हर अवधारणा परिभाषा → नियम/सूत्र → विधि → चरणबद्ध हल सहित उदाहरण के क्रम में दी गई है। इससे विद्यार्थी बोर्ड परीक्षा में विधि लिखकर पूरे अंक प्राप्त कर सकते हैं।
1. दो चरों वाला रैखिक समीकरण
परिभाषा: वह समीकरण जिसमें दो चर हों और प्रत्येक चर की अधिकतम घात 1 हो, दो चरों वाला रैखिक समीकरण कहलाता है। इसका सामान्य रूप है:
जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a और b दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं।
उदाहरण: 2x+3y−7=0, x−4y=5, y=2x+1।
हल: x और y के मानों का वह क्रमित युग्म (x,y) जो समीकरण को सत्य करे, उसका हल कहलाता है। एक रैखिक समीकरण के अनंत हल होते हैं और उसका आलेख एक सरल रेखा होता है।
उदाहरण 1: 2x+3y=12 के तीन हल लिखें
x=0 रखने पर 3y=12 ⇒ y=4।
x=3 रखने पर 6+3y=12 ⇒ y=2।
x=6 रखने पर 12+3y=12 ⇒ y=0।
अतः तीन हल (0,4), (3,2) और (6,0) हैं।
2. दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म
एक ही दो चरों x,y वाले दो रैखिक समीकरणों को साथ लेने पर रैखिक समीकरण युग्म प्राप्त होता है। सामान्य रूप:
a₂x+b₂y+c₂=0
यहाँ a₁,b₁ दोनों एक साथ शून्य नहीं तथा a₂,b₂ दोनों एक साथ शून्य नहीं होते। दोनों समीकरणों को एक साथ सत्य करने वाला क्रमित युग्म युग्म का सामान्य हल है।
3. रैखिक समीकरण युग्म का आलेखीय अर्थ
प्रत्येक रैखिक समीकरण एक सरल रेखा दर्शाता है। अतः दो समीकरणों का युग्म दो रेखाएँ दर्शाता है। इन रेखाओं की तीन स्थितियाँ संभव हैं:
| रेखाओं की स्थिति | हल | युग्म का प्रकार |
|---|---|---|
| एक बिंदु पर प्रतिच्छेद | एक अद्वितीय हल | संगत और स्वतंत्र |
| अलग-अलग समांतर | कोई हल नहीं | असंगत |
| संपाती | अनंत अनेक हल | संगत और आश्रित |
4. गुणांकों के अनुपात से हल की प्रकृति
युग्म a₁x+b₁y+c₁=0 तथा a₂x+b₂y+c₂=0 के लिए:
| शर्त | रेखाएँ | निष्कर्ष |
|---|---|---|
| a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ | प्रतिच्छेदी | एक अद्वितीय हल |
| a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ | समांतर | कोई हल नहीं |
| a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ | संपाती | अनंत अनेक हल |
उदाहरण 2: हल की प्रकृति बताएँ
2x+3y−8=0; 4x+6y−16=0
a₁/a₂=2/4=1/2, b₁/b₂=3/6=1/2, c₁/c₂=−8/−16=1/2
तीनों अनुपात समान हैं; रेखाएँ संपाती हैं और अनंत अनेक हल हैं।
उदाहरण 3: k का मान ज्ञात करें ताकि कोई हल न हो
3x+2y=5 और 6x+ky=12। कोई हल न होने के लिए:
3/6=2/k ≠ (−5)/(−12)
1/2=2/k ⇒ k=4
अतः k=4 पर रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है।
5. आलेखीय विधि
- प्रत्येक समीकरण के कम-से-कम दो या तीन हल निकालकर सारणी बनाएँ।
- दोनों समीकरणों के बिंदुओं को निर्देशांक तल पर अंकित करें।
- प्रत्येक समूह के बिंदुओं को मिलाकर सरल रेखा खींचें।
- रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु युग्म का हल होगा। समानांतर होने पर हल नहीं और संपाती होने पर अनंत हल होंगे।
उदाहरण 4: x+y=5 और x−y=1 को आलेख से हल करें
| समीकरण | बिंदु 1 | बिंदु 2 | बिंदु 3 |
|---|---|---|---|
| x+y=5 | (0,5) | (3,2) | (5,0) |
| x−y=1 | (1,0) | (3,2) | (5,4) |
दोनों रेखाएँ (3,2) पर मिलती हैं।
अतः x=3, y=2।
6. प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)
कार्यकारी नियम
- किसी एक समीकरण से एक चर को दूसरे चर के पदों में व्यक्त करें।
- प्राप्त मान को दूसरे समीकरण में रखें। इससे एक चर वाला समीकरण मिलेगा।
- उस चर का मान निकालें और पहले संबंध में रखकर दूसरे चर का मान ज्ञात करें।
- दोनों मूल समीकरणों में रखकर जाँच करें।
उदाहरण 5: x+y=14 और x−y=4
पहले समीकरण से x=14−y। इसे दूसरे में रखें:
14−y−y=4 ⇒ 14−2y=4 ⇒ y=5
x=14−5=9
अतः x=9 और y=5।
उदाहरण 6: 2x+3y=13 और 3x−2y=4
पहले समीकरण से x=(13−3y)/2। दूसरे में रखने पर:
3(13−3y)/2−2y=4
39−9y−4y=8 ⇒ −13y=−31 ⇒ y=31/13
x=(13−93/13)/2=38/13
अतः x=38/13 और y=31/13।
7. विलोपन विधि (Elimination Method)
इस विधि में दोनों समीकरणों को ऐसी संख्याओं से गुणा किया जाता है कि किसी एक चर के गुणांक समान या विपरीत हो जाएँ। फिर जोड़ने या घटाने से उस चर का विलोपन किया जाता है।
कार्यकारी नियम
- समीकरणों को मानक रूप में लिखें।
- जिस चर को हटाना है, उसके गुणांक बराबर करें।
- समान चिह्न वाले गुणांक हों तो घटाएँ, विपरीत चिह्न हों तो जोड़ें।
- प्राप्त चर का मान किसी मूल समीकरण में रखकर दूसरा चर निकालें।
उदाहरण 7: 2x+3y=12 और 3x−2y=5
पहले समीकरण को 2 तथा दूसरे को 3 से गुणा करें:
4x+6y=24 …(i)
9x−6y=15 …(ii)
दोनों जोड़ने पर 13x=39 ⇒ x=3।
2(3)+3y=12 ⇒ 3y=6 ⇒ y=2
अतः x=3 और y=2।
उदाहरण 8: 11x+15y+23=0 और 7x−2y−20=0
पहले समीकरण को 2 तथा दूसरे को 15 से गुणा करें:
22x+30y+46=0
105x−30y−300=0
जोड़ने पर 127x−254=0 ⇒ x=2।
दूसरे मूल समीकरण में रखने पर:
7(2)−2y−20=0 ⇒ −2y=6 ⇒ y=−3
अतः x=2 और y=−3।
8. वज्र-गुणन विधि (Cross-Multiplication Method)
जब समीकरण मानक रूप a₁x+b₁y+c₁=0 तथा a₂x+b₂y+c₂=0 में हों, तब:
उदाहरण 9: 2x+y=35 और 3x+4y=65
मानक रूप:
2x+y−35=0; 3x+4y−65=0
x/[1(−65)−4(−35)] = y/[(-35)3−(−65)2] = 1/(2×4−3×1)
x/75 = y/25 = 1/5
x=75/5=15, y=25/5=5
अतः x=15 और y=5।
उदाहरण 10: 3x+2y−12=0 और 5x−2y−4=0
x/[2(−4)−(−2)(−12)] = y/[(-12)5−(−4)3] = 1/[3(−2)−5(2)]
x/(−32)=y/(−48)=1/(−16)
अतः x=2 और y=3।
9. रैखिक रूप में बदले जाने वाले समीकरण
कुछ समीकरण सीधे रैखिक नहीं दिखते, लेकिन उचित नए चर मानकर उन्हें रैखिक समीकरण युग्म में बदला जा सकता है।
उदाहरण 11: 2/x+3/y=13 और 5/x−4/y=−2
मान लें u=1/x तथा v=1/y। तब:
2u+3v=13 …(i)
5u−4v=−2 …(ii)
(i) को 5 और (ii) को 2 से गुणा करें:
10u+15v=65
10u−8v=−4
घटाने पर 23v=69 ⇒ v=3। फिर 2u+9=13 ⇒ u=2।
1/x=2 ⇒ x=1/2; 1/y=3 ⇒ y=1/3
अतः x=1/2 और y=1/3।
10. शब्द-समस्याओं को समीकरण युग्म में बदलना
- अज्ञात राशियों को स्पष्ट रूप से x,y मानें और उनकी इकाई लिखें।
- प्रश्न की दो स्वतंत्र शर्तों से दो रैखिक समीकरण बनाएँ।
- उपयुक्त विधि से समीकरण हल करें।
- उत्तर की व्यावहारिकता जाँचें और वाक्य में अंतिम उत्तर लिखें।
उदाहरण 12: दो अंकों की संख्या
किसी दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। अंक उलटने पर नई संख्या मूल संख्या से 27 कम हो जाती है। संख्या ज्ञात करें।
दहाई का अंक x और इकाई का अंक y मानें।
x+y=9 …(i)
10y+x=10x+y−27 ⇒ x−y=3 …(ii)
दोनों जोड़ने पर 2x=12 ⇒ x=6; अतः y=3।
अभीष्ट संख्या 63 है। जाँच: 63−36=27।
उदाहरण 13: पिता और पुत्र की आयु
पिता और पुत्र की वर्तमान आयु का योग 50 वर्ष है। पाँच वर्ष पहले पिता की आयु पुत्र की आयु की 7 गुनी थी।
वर्तमान आयु क्रमशः x,y वर्ष मानें:
x+y=50 …(i)
x−5=7(y−5) ⇒ x−7y=−30 …(ii)
(i) से x=50−y। (ii) में रखने पर:
50−y−7y=−30 ⇒ −8y=−80 ⇒ y=10; x=40
पिता की आयु 40 वर्ष और पुत्र की आयु 10 वर्ष है।
उदाहरण 14: दो संख्याएँ
दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी की तीन गुनी है।
x−y=26, x=3y
3y−y=26 ⇒ 2y=26 ⇒ y=13, x=39
अतः संख्याएँ 39 और 13 हैं।
उदाहरण 15: सिक्कों की समस्या
₹1 और ₹2 के कुल 35 सिक्के हैं तथा उनका कुल मूल्य ₹50 है। दोनों प्रकार के सिक्कों की संख्या ज्ञात करें।
₹1 के सिक्के x, ₹2 के सिक्के y मानें:
x+y=35; x+2y=50
दूसरे में से पहला घटाने पर y=15; अतः x=20।
₹1 के 20 सिक्के और ₹2 के 15 सिक्के हैं।
11. त्वरित पुनरावृत्ति
- दो चरों वाले रैखिक समीकरण का सामान्य रूप ax+by+c=0 है।
- एक रैखिक समीकरण के अनंत हल होते हैं; उसका आलेख सरल रेखा है।
- प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक हल, समानांतर रेखाएँ कोई हल नहीं और संपाती रेखाएँ अनंत हल देती हैं।
- a₁/a₂≠b₁/b₂ होने पर अद्वितीय हल मिलता है।
- a₁/a₂=b₁/b₂≠c₁/c₂ होने पर कोई हल नहीं मिलता।
- a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂ होने पर अनंत अनेक हल मिलते हैं।
- बीजीय विधियाँ: प्रतिस्थापन, विलोपन और वज्र-गुणन।
- वज्र-गुणन से पहले दोनों समीकरणों का दायाँ पक्ष शून्य करना आवश्यक है।
12. परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण अभ्यास प्रश्न
- 3x+2y=12 के कोई तीन हल लिखें।
- 2x+3y=7 और 4x+6y=14 के हलों की संख्या बताएँ।
- 3x+2y=8 तथा 5x−2y=8 को विलोपन विधि से हल करें।
- x+2y=7 तथा 3x−y=7 को प्रतिस्थापन विधि से हल करें।
- 4x+3y=24 तथा 2x−5y=−4 को वज्र-गुणन विधि से हल करें।
- kx+3y=5 और 4x+6y=10 के अनंत हल होने के लिए k ज्ञात करें।
- दो संख्याओं का योग 45 और अंतर 9 है। संख्याएँ ज्ञात करें।
- एक भिन्न में अंश और हर का योग 11 है। अंश में 1 और हर में 2 जोड़ने पर भिन्न 1/2 हो जाती है। भिन्न ज्ञात करें।
13. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
दो चरों वाले रैखिक समीकरण का सामान्य रूप क्या है?
ax+by+c=0, जहाँ a,b दोनों एक साथ शून्य नहीं होते।
रैखिक समीकरण युग्म का अद्वितीय हल कब होता है?
जब a₁/a₂≠b₁/b₂; तब दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
कोई हल न होने की शर्त क्या है?
a₁/a₂=b₁/b₂≠c₁/c₂; तब रेखाएँ अलग-अलग समांतर होती हैं।
अनंत अनेक हल कब होते हैं?
a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂; तब दोनों रेखाएँ संपाती होती हैं।
समीकरण युग्म हल करने की मुख्य विधियाँ कौन-सी हैं?
आलेखीय विधि, प्रतिस्थापन विधि, विलोपन विधि और वज्र-गुणन विधि।
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