अध्याय 13 — पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन
Surface Areas and Volumes — सभी सूत्र, चित्र और पुस्तक-शैली में हल
विषय-सूची
1. भूमिका और आवश्यक संकेत
हमारे आसपास की अनेक वस्तुएँ घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला और अर्धगोला जैसी आकृतियों अथवा उनके संयोजन से बनी होती हैं। किसी ठोस के बाहर दिखाई देने वाले भाग का क्षेत्रफल उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसके द्वारा घेरी गई जगह उसका आयतन कहलाता है।
| संकेत | अर्थ |
|---|---|
| r | त्रिज्या |
| R | बड़ी त्रिज्या |
| h | ऊँचाई |
| l | तिर्यक ऊँचाई |
| a | घन की भुजा |
| L, B, H | घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई |
इकाइयाँ: पृष्ठीय क्षेत्रफल cm² या m² में तथा आयतन cm³ या m³ में लिखा जाता है। 1 लीटर = 1000 cm³ और 1 m³ = 1000 लीटर।
2. सभी महत्वपूर्ण सूत्र
| ठोस | वक्र/पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल | कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल | आयतन |
|---|---|---|---|
| घनाभ | 2H(L + B) | 2(LB + BH + HL) | LBH |
| घन | 4a² | 6a² | a³ |
| बेलन | 2πrh | 2πr(r + h) | πr²h |
| शंकु | πrl | πr(l + r) | 13πr²h |
| गोला | 4πr² | 43πr³ | |
| अर्धगोला | 2πr² | 3πr² | 23πr³ |
शंकु की तिर्यक ऊँचाई:l = √r² + h²
महत्वपूर्ण अंतर: अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πr² होता है। आधार सहित कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πr² + πr² = 3πr² होता है।
3. संयुक्त ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
मुख्य नियम:संयुक्त ठोस का आयतन = उसके सभी ठोस भागों के आयतनों का योग।यदि कोई भाग काटकर निकाला गया हो, तो उसका आयतन घटाया जाता है।पृष्ठीय क्षेत्रफल में केवल बाहर दिखाई देने वाली सतहें जोड़ी जाती हैं। जुड़ी हुई साझा सतह को नहीं जोड़ते।
4. एक ठोस का दूसरे ठोस में रूपांतरण
सिद्धांत: किसी ठोस को पिघलाकर दूसरा ठोस बनाने पर पदार्थ नष्ट नहीं होता, इसलिए दोनों का आयतन बराबर होता है।पहले ठोस का आयतन = नए ठोस का आयतन
रूपांतरण के प्रश्नों में पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर नहीं किया जाता। केवल आयतन बराबर किया जाता है।
5. शंकु का छिन्नक
यदि किसी शंकु को उसके आधार के समानांतर तल से काटकर ऊपरी छोटा शंकु हटा दिया जाए, तो बचा हुआ भाग शंकु का छिन्नक कहलाता है। बड़ी त्रिज्या R, छोटी त्रिज्या r और ऊँचाई h मानी जाती है।
तिर्यक ऊँचाई: l = √h² + (R − r)²वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल: πl(R + r)कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल: πl(R + r) + πR² + πr²आयतन: 13πh(R² + r² + Rr)
6. पुस्तक-शैली में हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1: 7 cm त्रिज्या और 10 cm ऊँचाई वाले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।दिया है: r = 7 cm, h = 10 cmवक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh= 2 × 227 × 7 × 10= 440 cm²कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r + h)= 2 × 227 × 7 × 17= 748 cm²आयतन = πr²h= 227 × 7² × 10= 1540 cm³
उदाहरण 2: एक शंकु की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24 cm है। उसकी तिर्यक ऊँचाई, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।l = √r² + h²= √7² + 24² = √625l = 25 cmवक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl= 227 × 7 × 25= 550 cm²आयतन = 13πr²h= 13 × 227 × 7² × 24= 1232 cm³
उदाहरण 3: 7 cm त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²= 4 × 227 × 7²= 616 cm²आयतन = 43πr³= 43 × 227 × 7³= 43123 cm³ = 143713 cm³
उदाहरण 4: 7 cm त्रिज्या वाले अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr² = 2 × 227 × 7²= 308 cm²कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr² = 3 × 227 × 7²= 462 cm²आयतन = 23πr³= 23 × 227 × 7³= 21563 cm³
उदाहरण 5: एक खिलौना अर्धगोले पर रखे शंकु के आकार का है। दोनों की समान त्रिज्या 3 cm तथा शंकु की ऊँचाई 4 cm है। खिलौने का आयतन ज्ञात कीजिए।खिलौने का आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन= 13πr²h + 23πr³= 13π × 3² × 4 + 23π × 3³= 12π + 18π = 30π= 94.2 cm³ (π = 3.14)
उदाहरण 6: 6 cm त्रिज्या और 8 cm ऊँचाई वाले ठोस बेलन के एक सिरे पर उसी त्रिज्या का अर्धगोलाकार गड्ढा बनाया गया है। शेष ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।शेष आयतन = बेलन का आयतन − अर्धगोले का आयतन= πr²h − 23πr³= π × 6² × 8 − 23π × 6³= 288π − 144π= 144π cm³
उदाहरण 7: 3 cm त्रिज्या वाली एक धातु की गोली को पिघलाकर 1 cm त्रिज्या वाली छोटी गोलियाँ बनाई जाती हैं। छोटी गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।मान लें छोटी गोलियों की संख्या = nबड़ी गोली का आयतन = n × छोटी गोली का आयतन43π × 3³ = n × 43π × 1³27 = nअतः छोटी गोलियों की संख्या 27 है।
उदाहरण 8: 7 cm त्रिज्या और 20 cm ऊँचाई वाले बेलनाकार पात्र की धारिता लीटर में ज्ञात कीजिए।धारिता = बेलन का आयतन= πr²h = 227 × 7² × 20= 3080 cm³= 30801000 लीटर= 3.08 लीटर
उदाहरण 9: एक छिन्नक की बड़ी त्रिज्या 6 cm, छोटी त्रिज्या 3 cm और ऊँचाई 4 cm है। उसकी तिर्यक ऊँचाई तथा आयतन ज्ञात कीजिए।l = √h² + (R − r)²= √4² + (6 − 3)² = √25l = 5 cmआयतन = 13πh(R² + r² + Rr)= 13π × 4 × (36 + 9 + 18)= 43π × 63= 84π cm³ = 264 cm³
7. त्वरित पुनरावृत्ति
- शंकु के लिए l² = r² + h²।
- गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 4πr² और आयतन 4πr³/3 है।
- अर्धगोले का वक्र क्षेत्रफल 2πr² और कुल क्षेत्रफल 3πr² है।
- संयुक्त ठोस में केवल बाहर दिखाई देने वाली सतहें जोड़ें।
- खोखला भाग या गड्ढा हो तो उसका आयतन घटाएँ।
- पिघलाने या ढालने पर पुराने और नए ठोस का आयतन बराबर होता है।
- उत्तर देने से पहले सभी लंबाइयों को एक ही इकाई में बदलें।
- 1 लीटर = 1000 cm³ और 1 m³ = 1000 लीटर।
8. अभ्यास प्रश्न
- 3 cm भुजा वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
- 7 cm त्रिज्या तथा 15 cm ऊँचाई वाले बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
- 5 cm त्रिज्या और 12 cm ऊँचाई वाले शंकु की तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 3.5 cm त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 7 cm त्रिज्या वाले अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 6 cm त्रिज्या के गोले को पिघलाकर 2 cm त्रिज्या की गोलियाँ बनाई गईं। गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
- बड़ी त्रिज्या 8 cm, छोटी त्रिज्या 4 cm और ऊँचाई 3 cm वाले छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 10 cm × 8 cm × 6 cm के घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें
1. 54 cm², 27 cm³ 2. 2310 cm³ 3. 13 cm 4. 154 cm² 5. 462 cm² 6. 27 7. 5 cm 8. 376 cm², 480 cm³