Bihar Board Class 10 Maths Chapter 12 Notes – वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

Bihar Board Class 10 Maths Chapter 12 Notes – वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
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अध्याय 12 — वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

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विषय-सूची

1. भूमिका एवं मूल शब्द2. वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल3. चाप की लंबाई4. त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल5. वृत्तखंड का क्षेत्रफल6. अर्धवृत्त एवं चतुर्थांश7. पथ और वलय8. हल किए गए उदाहरण9. त्वरित पुनरावृत्ति10. अभ्यास प्रश्न

1. भूमिका एवं आवश्यक शब्द

इस अध्याय में वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल के साथ-साथ चाप, त्रिज्यखंड, वृत्तखंड तथा संयुक्त आकृतियों के क्षेत्रफल का अध्ययन किया जाता है। सामान्यतः π = 22/7 या π = 3.14 लिया जाता है। प्रश्न में जो मान दिया हो, उसी का प्रयोग करें।
शब्दअर्थ
त्रिज्या (r)केंद्र से वृत्त के किसी बिंदु तक की दूरी
व्यास (d)केंद्र से गुजरने वाली सबसे लंबी जीवा; d = 2r
चापवृत्त की परिधि का कोई भाग
त्रिज्यखंडदो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से घिरा भाग
वृत्तखंडएक जीवा और उसके संगत चाप से घिरा भाग
केंद्रीय कोण (θ)वृत्त के केंद्र पर दो त्रिज्याओं के बीच बना कोण
इकाइयाँ याद रखें: परिधि और चाप की लंबाई cm, m आदि में लिखी जाती है; जबकि क्षेत्रफल cm², m² आदि में लिखा जाता है।

2. वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल

व्यास: d = 2rपरिधि: C = 2πr = πdक्षेत्रफल: A = πr²
Ord = 2r
चित्र 1: त्रिज्या r और व्यास d = 2r

3. चाप की लंबाई

360° के कोण के लिए चाप की लंबाई = पूरे वृत्त की परिधि = 2πrθ° के कोण के लिए चाप की लंबाई:l = θ360° × 2πr
महत्वपूर्ण: चाप की लंबाई निकालते समय 2πr से गुणा करें, πr² से नहीं।

4. त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

θ° केंद्रीय कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल:A = θ360° × πr²त्रिज्यखंड का परिमाप = दो त्रिज्याएँ + चाप की लंबाईP = 2r + θ360° × 2πr
Oθत्रिज्यखंड
चित्र 2: लघु त्रिज्यखंड
केंद्रीय कोणवृत्त का भागक्षेत्रफल
90°चतुर्थांशπr²4
180°अर्धवृत्तπr²2
270°तीन-चतुर्थांश3πr²4
360°पूरा वृत्तπr²

5. वृत्तखंड का क्षेत्रफल

लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल= लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल − संबंधित त्रिभुज का क्षेत्रफलAsegment = θ360° × πr² − Atriangleदीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल= वृत्त का क्षेत्रफल − लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल
Oलघु वृत्तखंडABजीवा AB
चित्र 3: लघु चाप AB और जीवा AB के बीच बना लघु वृत्तखंड
ध्यान रखें: त्रिज्यखंड और वृत्तखंड अलग हैं। त्रिज्यखंड में दो त्रिज्याएँ होती हैं, जबकि वृत्तखंड में एक जीवा होती है।

6. अर्धवृत्त एवं चतुर्थांश

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल: πr²2अर्धवृत्त का परिमाप: πr + 2rचतुर्थांश का क्षेत्रफल: πr²4चतुर्थांश का परिमाप: πr2 + 2r
केवल वक्र भाग की लंबाई पूछी जाए तो व्यास या त्रिज्याएँ न जोड़ें। परिमाप पूछा जाए तो सभी बाहरी सीमाएँ जोड़ें।

7. वृत्ताकार पथ और वलय

यदि बाहरी त्रिज्या R और भीतरी त्रिज्या r हो, तोवलय का क्षेत्रफल: π(R² − r²)= π(R + r)(R − r)
Rrवृत्ताकार वलय
चित्र 4: बाहरी त्रिज्या R तथा भीतरी त्रिज्या r वाला वलय

8. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: 7 cm त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)दिया है: r = 7 cmपरिधि = 2πr= 2 × 227 × 7= 44 cmक्षेत्रफल = πr²= 227 × 7 × 7= 154 cm²
उदाहरण 2: 21 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 60° कोण बनाने वाले चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।l = θ360° × 2πr= 60°360° × 2 × 227 × 21= 16 × 132= 22 cm
उदाहरण 3: 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त के 90° त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।A = θ360° × πr²= 90°360° × 227 × 14 × 14= 14 × 616= 154 cm²
उदाहरण 4: 21 cm त्रिज्या वाले वृत्त के 120° त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल तथा चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल= 120°360° × 227 × 21 × 21= 13 × 1386= 462 cm²चाप की लंबाई= 120°360° × 2 × 227 × 21= 44 cm
उदाहरण 5: 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 90° कोण वाले लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल= 90°360° × 227 × 14² = 154 cm²दोनों त्रिज्याएँ परस्पर लंब हैं, इसलिए त्रिभुज का क्षेत्रफल= 12 × 14 × 14 = 98 cm²लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल= 154 − 98= 56 cm²
उदाहरण 6: 14 cm व्यास वाले अर्धवृत्त का परिमाप ज्ञात कीजिए।व्यास d = 14 cm, इसलिए r = 7 cmअर्धवृत्त का परिमाप = πr + 2r= 227 × 7 + 2 × 7= 22 + 14= 36 cm
उदाहरण 7: एक वृत्ताकार पथ की बाहरी त्रिज्या 14 m और भीतरी त्रिज्या 7 m है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।R = 14 m, r = 7 mपथ का क्षेत्रफल = π(R² − r²)= 227 × (14² − 7²)= 227 × (196 − 49)= 227 × 147= 462 m²
उदाहरण 8: 14 cm भुजा वाले वर्ग में सबसे बड़ा वृत्त बनाया गया है। वर्ग के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो वृत्त के बाहर है।सबसे बड़े वृत्त का व्यास = वर्ग की भुजा = 14 cmr = 7 cmवर्ग का क्षेत्रफल = 14 × 14 = 196 cm²वृत्त का क्षेत्रफल = 227 × 7 × 7 = 154 cm²अभीष्ट क्षेत्रफल = 196 − 154= 42 cm²
उदाहरण 9: 14 cm व्यास वाले पहिए द्वारा 100 चक्कर लगाने पर तय दूरी ज्ञात कीजिए।एक चक्कर में तय दूरी = पहिए की परिधि= πd = 227 × 14 = 44 cm100 चक्करों में दूरी = 44 × 100 = 4400 cm= 4400100 m= 44 m
उदाहरण 10: किसी वृत्त के 60° त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 231 cm² है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।60°360° × 227 × r² = 23116 × 227 × r² = 231r² = 231 × 6 × 722 = 441r = √441r = 21 cm

9. त्वरित पुनरावृत्ति

  • व्यास d = 2r
  • परिधि = 2πr तथा क्षेत्रफल = πr²
  • चाप की लंबाई = (θ/360°) × 2πr
  • त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²
  • लघु वृत्तखंड = लघु त्रिज्यखंड − त्रिभुज
  • दीर्घ वृत्तखंड = वृत्त − लघु वृत्तखंड
  • वलय का क्षेत्रफल = π(R² − r²)
  • अर्धवृत्त के परिमाप में व्यास अवश्य जोड़ें।

10. अभ्यास प्रश्न

  1. 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
  2. 21 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 120° चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।
  3. 7 cm त्रिज्या वाले वृत्त के 90° त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
  4. 14 cm त्रिज्या और 90° केंद्रीय कोण वाले लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
  5. 28 cm व्यास वाले अर्धवृत्त का परिमाप ज्ञात कीजिए।
  6. बाहरी त्रिज्या 21 m और भीतरी त्रिज्या 14 m वाले पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
  7. एक पहिए की त्रिज्या 35 cm है। 200 चक्करों में तय दूरी ज्ञात कीजिए।
  8. 20 cm भुजा वाले वर्ग में बने सबसे बड़े वृत्त के बाहर बचे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। π = 3.14 लीजिए।
उत्तर देखें

1. 88 cm, 616 cm²   2. 44 cm   3. 38.5 cm²   4. 56 cm²   5. 72 cm   6. 770 m²   7. 440 m   8. 86 cm²