अध्याय 10 — वृत्त
Circle — संपूर्ण परिभाषाएँ, प्रमेय तथा पुस्तक-शैली के हल
विषय-सूची
1. भूमिका
एक समतल में किसी निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं का समुच्चय वृत्त कहलाता है। निश्चित बिंदु वृत्त का केंद्र तथा निश्चित दूरी वृत्त की त्रिज्या कहलाती है।
याद रखें: व्यास = 2 × त्रिज्या। वृत्त की परिधि पर स्थित किसी बिंदु को केंद्र से मिलाने वाला रेखाखंड त्रिज्या होता है।
2. एक ही तल में वृत्त और रेखा की सापेक्ष स्थिति
| स्थिति | प्रतिच्छेद बिंदुओं की संख्या | रेखा का नाम |
|---|---|---|
| रेखा वृत्त को नहीं काटती | 0 | अप्रतिच्छेदी रेखा |
| रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है | 2 | छेदक रेखा |
| रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है | 1 | स्पर्श रेखा |
3. मुख्य परिभाषाएँ
छेदक रेखा
वह रेखा जो वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, वृत्त की छेदक रेखा कहलाती है।
स्पर्श रेखा
वह रेखा जो वृत्त से केवल एक बिंदु पर मिलती है, वृत्त की स्पर्श रेखा कहलाती है।
स्पर्श-बिंदु
जिस बिंदु पर स्पर्श रेखा वृत्त से मिलती है, वह स्पर्श-बिंदु कहलाता है।
उदाहरण: समतल सड़क पर चलते साइकिल के पहिए और सड़क के मिलने का बिंदु स्पर्श-बिंदु तथा सड़क स्पर्श रेखा का उदाहरण है।
4. वृत्त की स्पर्श रेखा
छेदक रेखा को धीरे-धीरे इस प्रकार घुमाने पर कि उसके दोनों प्रतिच्छेद बिंदु पास आते जाएँ और अंततः एक ही बिंदु पर संपाती हो जाएँ, प्राप्त रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा होती है।
महत्वपूर्ण तथ्य: किसी वृत्त की दी गई छेदक रेखा के समानांतर केवल दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
5. स्पर्श रेखा का मुख्य गुण
प्रमेय 10.1: वृत्त के किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा, स्पर्श-बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।दिया है: केंद्र O वाले वृत्त पर P स्पर्श-बिंदु है और AB स्पर्श रेखा है।सिद्ध करना है: OP ⟂ ABरचना: AB पर P से भिन्न कोई बिंदु Q लेकर OQ मिलाएँ।Q वृत्त के बाहर स्थित है, इसलिए OQ > OP।अतः OP, बिंदु O से रेखा AB की न्यूनतम दूरी है।किसी बिंदु से रेखा की न्यूनतम दूरी उस पर खींचा गया लंब होता है।अतः OP ⟂ AB।
विलोम: त्रिज्या के अंतिम बिंदु से त्रिज्या पर खींची गई लंब रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा होती है।
वृत्त के किसी एक बिंदु पर केवल एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है। स्पर्श-बिंदु पर त्रिज्या को उस वृत्त का अभिलंब भी कहते हैं।
6. किसी बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की संख्या
| बिंदु की स्थिति | स्पर्श रेखाओं की संख्या |
|---|---|
| वृत्त के अंदर | 0 |
| वृत्त पर | 1 |
| वृत्त के बाहर | 2 |
7. बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ
प्रमेय 10.2: किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।दिया है: बाह्य बिंदु A से वृत्त पर AP और AQ स्पर्श रेखाएँ हैं तथा O केंद्र है।सिद्ध करना है: AP = AQरचना: OP, OQ तथा OA मिलाएँ।OP ⟂ AP तथा OQ ⟂ AQसमकोण त्रिभुज OPA और OQA में—OP = OQ [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]OA = OA [उभयनिष्ठ]∠OPA = ∠OQA = 90°अतः ΔOPA ≅ ΔOQA [RHS सर्वांगसमता]अतः AP = AQ।
परिणाम: बाह्य बिंदु और केंद्र को मिलाने वाली रेखा दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है तथा स्पर्श-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड को लंब समद्विभाजित करती है।
8. त्रिभुज का अंतःवृत्त
किसी त्रिभुज के अंदर उसकी तीनों भुजाओं को स्पर्श करने वाला वृत्त, उस त्रिभुज का अंतःवृत्त कहलाता है। उसका केंद्र अंतःकेंद्र कहलाता है। अंतःकेंद्र से तीनों भुजाओं की लंबवत दूरी समान होती है और वही अंतःवृत्त की त्रिज्या होती है।
9. पुस्तक-शैली में हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1: बाह्य बिंदु P की केंद्र O से दूरी 10 cm है। P से खींची गई स्पर्श रेखा PT की लंबाई 8 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें।OT त्रिज्या है और PT स्पर्श रेखा है।अतः OT ⟂ PT तथा ∠OTP = 90°।समकोण त्रिभुज OTP में—OP² = OT² + PT²10² = OT² + 8²OT² = 100 − 64 = 36OT = √36 = 6 cmअतः वृत्त की त्रिज्या 6 cm है।
उदाहरण 2: केंद्र O वाले वृत्त से बाह्य बिंदु Q की दूरी 12 cm तथा वृत्त की त्रिज्या 5 cm है। स्पर्श रेखा PQ की लंबाई ज्ञात करें।OP ⟂ PQ, इसलिए ΔOPQ समकोण त्रिभुज है।OQ² = OP² + PQ²12² = 5² + PQ²PQ² = 144 − 25 = 119PQ = √119 cmअतः स्पर्श रेखा की लंबाई √119 cm है।
उदाहरण 3: केंद्र O से बिंदु A की दूरी 5 cm और A से खींची गई स्पर्श रेखा AP की लंबाई 4 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें।OP ⟂ AP, इसलिए ΔAPO समकोण त्रिभुज है।OA² = AP² + OP²5² = 4² + OP²OP² = 25 − 16 = 9OP = 3 cmअतः वृत्त की त्रिज्या 3 cm है।
उदाहरण 4: बाह्य बिंदु P से PA और PB दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं तथा ∠APB = 80° है। ∠POA ज्ञात करें।PA = PB और OA = OB, अतः OP, ∠APB को समद्विभाजित करता है।∠APO = 12 ∠APB∠APO = 12 × 80° = 40°OA ⟂ AP, इसलिए ∠OAP = 90°।ΔPAO में—∠POA + 40° + 90° = 180°∠POA = 50°अतः ∠POA = 50°।
उदाहरण 5: TP और TQ केंद्र O वाले वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ हैं तथा ∠POQ = 110° है। ∠PTQ ज्ञात करें।OP ⟂ TP तथा OQ ⟂ TQ∠OPT = ∠OQT = 90°चतुर्भुज OPTQ में कोणों का योग 360° होता है।110° + 90° + ∠PTQ + 90° = 360°∠PTQ = 360° − 290° = 70°अतः ∠PTQ = 70°।
उदाहरण 6: दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm और 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात करें जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।मान लें AB जीवा छोटे वृत्त को P पर स्पर्श करती है। तब OP ⟂ AB।केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, अतः AP = PB।ΔAOP में—OA² = OP² + AP²5² = 3² + AP²AP² = 25 − 9 = 16AP = 4 cmAB = 2AP = 2 × 4 = 8 cmअतः जीवा की लंबाई 8 cm है।
उदाहरण 7: सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समानांतर होती हैं।मान लें AB वृत्त का व्यास है तथा A और B पर स्पर्श रेखाएँ CD और EF हैं।A पर त्रिज्या OA, स्पर्श रेखा CD पर लंब है। अतः ∠BAD = 90°।B पर त्रिज्या OB, स्पर्श रेखा EF पर लंब है। अतः ∠ABE = 90°।∠BAD = ∠ABE और ये एकांतर अंतःकोण हैं।अतः CD ∥ EF।
10. त्वरित पुनरावृत्ति
- स्पर्श रेखा वृत्त से केवल एक बिंदु पर मिलती है।
- स्पर्श-बिंदु पर त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
- वृत्त के अंदर, वृत्त पर और वृत्त के बाहर स्थित बिंदु से क्रमशः 0, 1 और 2 स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
- एक बाह्य बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।
- केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
11. अभ्यास प्रश्न
- एक वृत्त की स्पर्श रेखा उसे कितने बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है?
- केंद्र से 13 cm दूर स्थित बिंदु से खींची स्पर्श रेखा 12 cm है। त्रिज्या ज्ञात करें।
- बाह्य बिंदु P से PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि PA = 9 cm, तो PB ज्ञात करें।
- दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण 60° है। केंद्र पर स्पर्श-बिंदुओं द्वारा बना कोण ज्ञात करें।
- दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 10 cm और 6 cm हैं। बड़े वृत्त की वह जीवा ज्ञात करें जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।
उत्तर देखें
(1) एक बिंदु
(2) 5 cm
(3) 9 cm
(4) 120°
(5) 16 cm
12. परीक्षा के लिए जरूरी प्रश्नोत्तर
छेदक और स्पर्श रेखा में क्या अंतर है?
छेदक वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर काटती है, जबकि स्पर्श रेखा वृत्त से केवल एक बिंदु पर मिलती है।
स्पर्श-बिंदु पर त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच कितना कोण होता है?
90° का कोण होता है।
क्या वृत्त के अंदर स्थित बिंदु से स्पर्श रेखा खींची जा सकती है?
नहीं। वृत्त के अंदर स्थित बिंदु से कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती।
बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं का प्रमुख गुण क्या है?
उनकी लंबाइयाँ बराबर होती हैं।