अध्याय 12 — वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
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विषय-सूची
1. भूमिका एवं आवश्यक शब्द
इस अध्याय में वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल के साथ-साथ चाप, त्रिज्यखंड, वृत्तखंड तथा संयुक्त आकृतियों के क्षेत्रफल का अध्ययन किया जाता है। सामान्यतः π = 22/7 या π = 3.14 लिया जाता है। प्रश्न में जो मान दिया हो, उसी का प्रयोग करें।
| शब्द | अर्थ |
|---|---|
| त्रिज्या (r) | केंद्र से वृत्त के किसी बिंदु तक की दूरी |
| व्यास (d) | केंद्र से गुजरने वाली सबसे लंबी जीवा; d = 2r |
| चाप | वृत्त की परिधि का कोई भाग |
| त्रिज्यखंड | दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से घिरा भाग |
| वृत्तखंड | एक जीवा और उसके संगत चाप से घिरा भाग |
| केंद्रीय कोण (θ) | वृत्त के केंद्र पर दो त्रिज्याओं के बीच बना कोण |
इकाइयाँ याद रखें: परिधि और चाप की लंबाई cm, m आदि में लिखी जाती है; जबकि क्षेत्रफल cm², m² आदि में लिखा जाता है।
2. वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल
व्यास: d = 2rपरिधि: C = 2πr = πdक्षेत्रफल: A = πr²
3. चाप की लंबाई
360° के कोण के लिए चाप की लंबाई = पूरे वृत्त की परिधि = 2πrθ° के कोण के लिए चाप की लंबाई:l = θ360° × 2πr
महत्वपूर्ण: चाप की लंबाई निकालते समय 2πr से गुणा करें, πr² से नहीं।
4. त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
θ° केंद्रीय कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल:A = θ360° × πr²त्रिज्यखंड का परिमाप = दो त्रिज्याएँ + चाप की लंबाईP = 2r + θ360° × 2πr
| केंद्रीय कोण | वृत्त का भाग | क्षेत्रफल |
|---|---|---|
| 90° | चतुर्थांश | πr²4 |
| 180° | अर्धवृत्त | πr²2 |
| 270° | तीन-चतुर्थांश | 3πr²4 |
| 360° | पूरा वृत्त | πr² |
5. वृत्तखंड का क्षेत्रफल
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल= लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल − संबंधित त्रिभुज का क्षेत्रफलAsegment = θ360° × πr² − Atriangleदीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल= वृत्त का क्षेत्रफल − लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल
ध्यान रखें: त्रिज्यखंड और वृत्तखंड अलग हैं। त्रिज्यखंड में दो त्रिज्याएँ होती हैं, जबकि वृत्तखंड में एक जीवा होती है।
6. अर्धवृत्त एवं चतुर्थांश
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल: πr²2अर्धवृत्त का परिमाप: πr + 2rचतुर्थांश का क्षेत्रफल: πr²4चतुर्थांश का परिमाप: πr2 + 2r
केवल वक्र भाग की लंबाई पूछी जाए तो व्यास या त्रिज्याएँ न जोड़ें। परिमाप पूछा जाए तो सभी बाहरी सीमाएँ जोड़ें।
7. वृत्ताकार पथ और वलय
यदि बाहरी त्रिज्या R और भीतरी त्रिज्या r हो, तोवलय का क्षेत्रफल: π(R² − r²)= π(R + r)(R − r)
8. हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1: 7 cm त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)दिया है: r = 7 cmपरिधि = 2πr= 2 × 227 × 7= 44 cmक्षेत्रफल = πr²= 227 × 7 × 7= 154 cm²
उदाहरण 2: 21 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 60° कोण बनाने वाले चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।l = θ360° × 2πr= 60°360° × 2 × 227 × 21= 16 × 132= 22 cm
उदाहरण 3: 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त के 90° त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।A = θ360° × πr²= 90°360° × 227 × 14 × 14= 14 × 616= 154 cm²
उदाहरण 4: 21 cm त्रिज्या वाले वृत्त के 120° त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल तथा चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल= 120°360° × 227 × 21 × 21= 13 × 1386= 462 cm²चाप की लंबाई= 120°360° × 2 × 227 × 21= 44 cm
उदाहरण 5: 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 90° कोण वाले लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल= 90°360° × 227 × 14² = 154 cm²दोनों त्रिज्याएँ परस्पर लंब हैं, इसलिए त्रिभुज का क्षेत्रफल= 12 × 14 × 14 = 98 cm²लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल= 154 − 98= 56 cm²
उदाहरण 6: 14 cm व्यास वाले अर्धवृत्त का परिमाप ज्ञात कीजिए।व्यास d = 14 cm, इसलिए r = 7 cmअर्धवृत्त का परिमाप = πr + 2r= 227 × 7 + 2 × 7= 22 + 14= 36 cm
उदाहरण 7: एक वृत्ताकार पथ की बाहरी त्रिज्या 14 m और भीतरी त्रिज्या 7 m है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।R = 14 m, r = 7 mपथ का क्षेत्रफल = π(R² − r²)= 227 × (14² − 7²)= 227 × (196 − 49)= 227 × 147= 462 m²
उदाहरण 8: 14 cm भुजा वाले वर्ग में सबसे बड़ा वृत्त बनाया गया है। वर्ग के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो वृत्त के बाहर है।सबसे बड़े वृत्त का व्यास = वर्ग की भुजा = 14 cmr = 7 cmवर्ग का क्षेत्रफल = 14 × 14 = 196 cm²वृत्त का क्षेत्रफल = 227 × 7 × 7 = 154 cm²अभीष्ट क्षेत्रफल = 196 − 154= 42 cm²
उदाहरण 9: 14 cm व्यास वाले पहिए द्वारा 100 चक्कर लगाने पर तय दूरी ज्ञात कीजिए।एक चक्कर में तय दूरी = पहिए की परिधि= πd = 227 × 14 = 44 cm100 चक्करों में दूरी = 44 × 100 = 4400 cm= 4400100 m= 44 m
उदाहरण 10: किसी वृत्त के 60° त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 231 cm² है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।60°360° × 227 × r² = 23116 × 227 × r² = 231r² = 231 × 6 × 722 = 441r = √441r = 21 cm
9. त्वरित पुनरावृत्ति
- व्यास d = 2r
- परिधि = 2πr तथा क्षेत्रफल = πr²
- चाप की लंबाई = (θ/360°) × 2πr
- त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²
- लघु वृत्तखंड = लघु त्रिज्यखंड − त्रिभुज
- दीर्घ वृत्तखंड = वृत्त − लघु वृत्तखंड
- वलय का क्षेत्रफल = π(R² − r²)
- अर्धवृत्त के परिमाप में व्यास अवश्य जोड़ें।
10. अभ्यास प्रश्न
- 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 21 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 120° चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।
- 7 cm त्रिज्या वाले वृत्त के 90° त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 14 cm त्रिज्या और 90° केंद्रीय कोण वाले लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 28 cm व्यास वाले अर्धवृत्त का परिमाप ज्ञात कीजिए।
- बाहरी त्रिज्या 21 m और भीतरी त्रिज्या 14 m वाले पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- एक पहिए की त्रिज्या 35 cm है। 200 चक्करों में तय दूरी ज्ञात कीजिए।
- 20 cm भुजा वाले वर्ग में बने सबसे बड़े वृत्त के बाहर बचे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। π = 3.14 लीजिए।
उत्तर देखें
1. 88 cm, 616 cm² 2. 44 cm 3. 38.5 cm² 4. 56 cm² 5. 72 cm 6. 770 m² 7. 440 m 8. 86 cm²