Bihar Board Class 9 Maths हीरोन का सूत्र (Heron’s Formula) Complete Notes in Hindi

Class 9 Mathematics
हीरोन का सूत्र (Heron’s Formula)

त्रिभुज की तीनों भुजाओं से क्षेत्रफल, समबाहु एवं समद्विबाहु त्रिभुज, चतुर्भुज, समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज और समलंब के महत्वपूर्ण सूत्र व उदाहरण।

1. क्षेत्रमिति का परिचय

क्षेत्रमिति: गणित की वह शाखा जिसमें रेखाओं की लंबाई, समतल आकृतियों के क्षेत्रफल तथा ठोस आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन का अध्ययन किया जाता है, क्षेत्रमिति कहलाती है।

इसका प्रयोग खेत, जमीन, कमरा, दीवार, बगीचा और विभिन्न आकार के भूखंडों का क्षेत्रफल ज्ञात करने में किया जाता है।

2. लंबाई और क्षेत्रफल की इकाइयाँ

राशिइकाइयाँ
लंबाईमिलीमीटर, सेंटीमीटर, मीटर और किलोमीटर
परिमितिसेमी, मीटर या किलोमीटर
क्षेत्रफलcm², m² और km² जैसी वर्ग इकाइयाँ
गणना शुरू करने से पहले सभी मापों को एक ही इकाई में बदलना आवश्यक है।

3. त्रिभुज का सामान्य क्षेत्रफल

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × संगत ऊँचाई
B C A h b
आधार = 2 × क्षेत्रफल ÷ ऊँचाई
ऊँचाई = 2 × क्षेत्रफल ÷ आधार

4. समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल

समकोण बनाने वाली दोनों भुजाएँ परस्पर आधार और ऊँचाई होती हैं।

क्षेत्रफल = ½ × समकोण बनाने वाली दोनों भुजाओं का गुणनफल
यदि समकोण बनाने वाली भुजाएँ 8 सेमी और 15 सेमी हैं, तो क्षेत्रफल = ½ × 8 × 15 = 60 सेमी²।

5. समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

यदि समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा a हो, तो शीर्ष से आधार पर डाला गया लंब आधार को दो बराबर भागों में बाँटता है।

ऊँचाई = (√3/2)a
क्षेत्रफल = (√3/4)a²

6. समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

यदि बराबर भुजाएँ a तथा आधार b हो, तो आधार पर डाला गया लंब आधार को दो बराबर भागों में बाँटता है।

ऊँचाई = ½√(4a² − b²)
क्षेत्रफल = (b/4)√(4a² − b²)

7. परिमिति और अर्धपरिमिति

परिमिति = a + b + c
त्रिभुज की परिमिति के आधे भाग को अर्धपरिमिति कहते हैं। इसे s से दर्शाया जाता है।
s = (a + b + c)/2

8. हीरोन का सूत्र

जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ ज्ञात हों और ऊँचाई ज्ञात न हो, तब उसका क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र से निकाला जाता है।
क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]

यहाँ a, b और c त्रिभुज की भुजाएँ तथा s उसकी अर्धपरिमिति है।

9. हीरोन का सूत्र लगाने की विधि

  1. तीनों भुजाओं को a, b और c मानिए।
  2. अर्धपरिमिति s = (a+b+c)/2 निकालिए।
  3. s−a, s−b और s−c ज्ञात कीजिए।
  4. मानों को √[s(s−a)(s−b)(s−c)] में रखिए।
  5. वर्गमूल सरल करके उत्तर वर्ग इकाई में लिखिए।
किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए।

10. त्रिभुज के हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: भुजाएँ 20 सेमी, 30 सेमी और 40 सेमी हैं।
s = (20+30+40)/2 = 45 सेमी
क्षेत्रफल = √[45×25×15×5]
= 75√15 सेमी² ≈ 290.47 सेमी²
उदाहरण 2: परिमिति 42 सेमी और दो भुजाएँ 18 सेमी तथा 10 सेमी हैं।
तीसरी भुजा = 42−18−10 = 14 सेमी
s = 21 सेमी
क्षेत्रफल = √[21×3×11×7]
= 21√11 सेमी²
उदाहरण 3: भुजाओं का अनुपात 12:17:25 और परिमिति 540 सेमी है।
54x = 540 ⇒ x = 10
भुजाएँ = 120, 170 और 250 सेमी
s = 270 सेमी
क्षेत्रफल = √[270×150×100×20]
= 9000 सेमी²
उदाहरण 4: त्रिभुजाकार भूखंड की भुजाओं का अनुपात 3:5:7 तथा परिमिति 300 मीटर है।
15x = 300 ⇒ x = 20
भुजाएँ = 60, 100 और 140 मीटर
s = 150 मीटर
क्षेत्रफल = √[150×90×50×10]
= 1500√3 मीटर²
उदाहरण 5: 8 सेमी, 15 सेमी और 17 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
s = (8+15+17)/2 = 20 सेमी
क्षेत्रफल = √[20×12×5×3]
= √3600 = 60 सेमी²

11. दो विधियों से त्रिभुज का क्षेत्रफल

किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ तथा किसी भुजा पर खींचा गया लंब ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल दो तरीकों से निकाला जा सकता है।

पहली विधि: तीनों भुजाओं से हीरोन का सूत्र लगाएँ।
दूसरी विधि: ½ × आधार × संगत ऊँचाई का प्रयोग करें।
दोनों विधियों से प्राप्त क्षेत्रफल बराबर होगा। इसी समानता से अज्ञात आधार या ऊँचाई भी निकाली जा सकती है।

12. चतुर्भुज के क्षेत्रफल में हीरोन के सूत्र का प्रयोग

अनियमित चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए उसके किसी एक विकर्ण को मिलाकर उसे दो त्रिभुजों में बाँटा जाता है।

  1. चतुर्भुज का उपयुक्त विकर्ण खींचिए।
  2. प्राप्त दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल अलग-अलग निकालिए।
  3. यदि तीनों भुजाएँ ज्ञात हों तो हीरोन का सूत्र लगाइए।
  4. दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल जोड़ दीजिए।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल = पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल + दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल

13. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × संगत ऊँचाई
A = b × h
आधार = क्षेत्रफल ÷ ऊँचाई
ऊँचाई = क्षेत्रफल ÷ आधार
  • विकर्ण समांतर चतुर्भुज को दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बाँटता है।
  • समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 2 × विकर्ण से बने एक त्रिभुज का क्षेत्रफल।
  • यदि प्रत्येक भुजा k गुनी हो जाए, तो परिमिति k गुनी और क्षेत्रफल k² गुना होगा।
आधार 15 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी हो, तो क्षेत्रफल = 15 × 12 = 180 सेमी²।
किसी समांतर चतुर्भुज का विकर्ण 6.8 सेमी तथा विपरीत शीर्ष से विकर्ण पर लंब 7.5 सेमी है।
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × 6.8 × 7.5 = 25.5 सेमी²
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 2 × 25.5 = 51 सेमी²।

14. समचतुर्भुज का क्षेत्रफल

समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं और उसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂
भुजा a = ½√(d₁² + d₂²)
परिमिति = 2√(d₁² + d₂²)
ऊँचाई = d₁d₂ ÷ √(d₁² + d₂²)
यदि समचतुर्भुज के विकर्ण 6 मीटर और 8 मीटर हों, तो
क्षेत्रफल = ½ × 6 × 8 = 24 मीटर²।
भुजा = ½√(6²+8²) = 5 मीटर।
परिमिति = 4×5 = 20 मीटर।
ऊँचाई = (6×8)/√100 = 4.8 मीटर।
समचतुर्भुजाकार दीवार के विकर्ण 26 मीटर और 22 मीटर हैं तथा रंगाई ₹2.25 प्रति वर्ग मीटर है।
एक पृष्ठ का क्षेत्रफल = ½×26×22 = 286 मीटर²
दोनों पृष्ठों का क्षेत्रफल = 572 मीटर²
कुल खर्च = 572×2.25 = ₹1287।

15. समलंब का क्षेत्रफल

जिस चतुर्भुज की एक जोड़ी सम्मुख भुजाएँ समांतर हों, उसे समलंब कहते हैं।
समलंब का क्षेत्रफल = ½ × ऊँचाई × समांतर भुजाओं का योग
A = ½h(a+b)
ऊँचाई h = 2A ÷ (a+b)
समलंब की समांतर भुजाएँ 5 मीटर और 8 मीटर तथा उनके बीच की दूरी 10 मीटर है।
क्षेत्रफल = ½×10×(5+8) = 65 मीटर²।
समलंब की समांतर भुजाएँ 25 मीटर तथा 10 मीटर हैं। अन्य भुजाएँ 14 मीटर और 13 मीटर हैं। रचना से बने त्रिभुज की भुजाएँ 14, 15 और 13 मीटर होंगी।
s = (14+15+13)/2 = 21 मीटर
त्रिभुज का क्षेत्रफल = √[21×7×6×8] = 84 मीटर²
ऊँचाई = (2×84)/15 = 56/5 मीटर
समलंब का क्षेत्रफल = ½×(25+10)×56/5
= 196 मीटर²।

16. विकर्ण द्वारा चतुर्भुज का क्षेत्रफल

यदि चतुर्भुज का एक विकर्ण d और शेष दोनों शीर्षों से उस विकर्ण पर डाले गए लंब h₁ तथा h₂ हों, तो चतुर्भुज दो त्रिभुजों में बँट जाता है।

चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × d × (h₁ + h₂)
A B C D d h₁ h₂
यदि विकर्ण 10 सेमी और विपरीत शीर्षों से उस पर डाले गए लंब 6 सेमी तथा 5 सेमी हों, तो क्षेत्रफल
= ½×10×(6+5) = 55 सेमी²।

17. महत्वपूर्ण सूत्र (Formula Box)

आकृतिक्षेत्रफल
सामान्य त्रिभुज½bh
समबाहु त्रिभुज(√3/4)a²
समद्विबाहु त्रिभुज(b/4)√(4a²−b²)
हीरोन का सूत्र√[s(s−a)(s−b)(s−c)]
समांतर चतुर्भुजbh
समचतुर्भुज½d₁d₂
समलंब½h(a+b)
विकर्ण वाला चतुर्भुज½d(h₁+h₂)

18. अभ्यास प्रश्न

  1. हीरोन का सूत्र और अर्धपरिमिति का सूत्र लिखिए।
  2. 13 सेमी, 14 सेमी और 15 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें।
  3. 8 सेमी, 15 सेमी और 17 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल दोनों विधियों से निकालें।
  4. 10 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
  5. 18 सेमी और 12 सेमी विकर्णों वाले समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
  6. समांतर चतुर्भुज का आधार 24 सेमी और ऊँचाई 15 सेमी है। क्षेत्रफल निकालें।
  7. समलंब की समांतर भुजाएँ 12 सेमी और 18 सेमी तथा ऊँचाई 9 सेमी है। क्षेत्रफल निकालें।
  8. चतुर्भुज का विकर्ण 16 सेमी तथा उस पर डाले गए लंब 5 सेमी और 7 सेमी हैं। क्षेत्रफल निकालें।

19. Quick Revision

  1. क्षेत्रफल हमेशा वर्ग इकाई में लिखा जाता है।
  2. हीरोन का सूत्र तीनों भुजाएँ ज्ञात होने पर प्रयोग किया जाता है।
  3. s = (a+b+c)/2 त्रिभुज की अर्धपरिमिति है।
  4. समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल (√3/4)a² होता है।
  5. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार × ऊँचाई होता है।
  6. समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है।
  7. समलंब का क्षेत्रफल ½h(a+b) होता है।
  8. अनियमित चतुर्भुज को त्रिभुजों में बाँटकर क्षेत्रफल निकाला जाता है।
  9. गणना से पहले सभी मापों को समान इकाई में बदलें।

20. सामान्य प्रश्न (FAQ)

हीरोन के सूत्र का उपयोग कब किया जाता है?

जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ ज्ञात हों और ऊँचाई ज्ञात न हो।

अर्धपरिमिति क्या होती है?

त्रिभुज की परिमिति का आधा भाग अर्धपरिमिति कहलाता है।

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे निकालते हैं?

उसके दोनों विकर्णों के गुणनफल का आधा करके।

समलंब के क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?

½ × ऊँचाई × समांतर भुजाओं का योग।

अनियमित चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे निकालते हैं?

विकर्ण खींचकर उसे त्रिभुजों में बाँटते हैं और उनके क्षेत्रफल जोड़ते हैं।

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