यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय
इस अध्याय में बिंदु, रेखा, तल, कोण तथा यूक्लिड की अभिधारणाओं और स्वयंसिद्धों का अध्ययन किया जाता है।
ये मूल अवधारणाएँ आगे की ज्यामिति को समझने और तार्किक रूप से प्रमाण सिद्ध करने का आधार तैयार करती हैं।
कुल 100 महत्वपूर्ण MCQ — सही उत्तर एवं संक्षिप्त समाधान सहित
सेट–1 : प्रश्न 1 से 25
1एक बिंदु से होकर कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
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सही उत्तर: (D) अनंत
एक अकेला बिंदु रेखा की दिशा निर्धारित नहीं करता। अतः उस बिंदु से अलग-अलग दिशाओं में अनंत रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
एक अकेला बिंदु रेखा की दिशा निर्धारित नहीं करता। अतः उस बिंदु से अलग-अलग दिशाओं में अनंत रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
2एक सीधी रेखा पर कितने बिंदु स्थित हो सकते हैं?
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सही उत्तर: (B) अनंत
रेखा दोनों दिशाओं में बिना अंत के बढ़ती है। इसलिए उस पर अनंत बिंदु स्थित होते हैं।
रेखा दोनों दिशाओं में बिना अंत के बढ़ती है। इसलिए उस पर अनंत बिंदु स्थित होते हैं।
3दो भिन्न बिंदुओं से होकर कितनी सीधी रेखा गुजरती है?
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सही उत्तर: (A) केवल एक
दो भिन्न बिंदु एक रेखा की स्थिति और दिशा को निश्चित कर देते हैं। इसलिए उनसे केवल एक रेखा गुजरती है।
दो भिन्न बिंदु एक रेखा की स्थिति और दिशा को निश्चित कर देते हैं। इसलिए उनसे केवल एक रेखा गुजरती है।
4दो भिन्न सीधी रेखाओं में अधिकतम कितने उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं?
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सही उत्तर: (A) एक
यदि दो भिन्न रेखाओं के दो उभयनिष्ठ बिंदु हों, तो दोनों वास्तव में एक ही रेखा हो जाएँगी। इसलिए अधिकतम एक बिंदु संभव है।
यदि दो भिन्न रेखाओं के दो उभयनिष्ठ बिंदु हों, तो दोनों वास्तव में एक ही रेखा हो जाएँगी। इसलिए अधिकतम एक बिंदु संभव है।
5जिन दो कोणों का योग 180° होता है, उन्हें क्या कहते हैं?
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सही उत्तर: (A) संपूरक कोण
परिभाषा के अनुसार जिन दो कोणों की मापों का योग 180° हो, वे संपूरक कोण कहलाते हैं।
परिभाषा के अनुसार जिन दो कोणों की मापों का योग 180° हो, वे संपूरक कोण कहलाते हैं।
6जिन दो कोणों का योग 90° होता है, उन्हें क्या कहते हैं?
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सही उत्तर: (B) पूरक कोण
दो कोणों की मापों का योग 90° होने पर उन्हें परस्पर पूरक कोण कहा जाता है।
दो कोणों की मापों का योग 90° होने पर उन्हें परस्पर पूरक कोण कहा जाता है।
735° का पूरक कोण कितना होगा?
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सही उत्तर: (C) 55°
पूरक कोणों का योग 90° होता है। अतः 90° − 35° = 55°।
पूरक कोणों का योग 90° होता है। अतः 90° − 35° = 55°।
880° का संपूरक कोण कितना होगा?
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सही उत्तर: (B) 100°
संपूरक कोणों का योग 180° होता है। इसलिए 180° − 80° = 100°।
संपूरक कोणों का योग 180° होता है। इसलिए 180° − 80° = 100°।
9समकोण से बड़ा लेकिन चार समकोण से छोटा कोण क्या कहलाता है?
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सही उत्तर: (C) प्रतिवर्ती कोण
180° से बड़ा तथा 360° से छोटा कोण प्रतिवर्ती कोण कहलाता है।
180° से बड़ा तथा 360° से छोटा कोण प्रतिवर्ती कोण कहलाता है।
10यदि A, O और B एक सीधी रेखा पर हैं तथा ∠COB = 60° है, तो ∠AOC कितना होगा?
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सही उत्तर: (A) 120°
रेखीय युग्म का योग 180° होता है। इसलिए ∠AOC = 180° − 60° = 120°।
रेखीय युग्म का योग 180° होता है। इसलिए ∠AOC = 180° − 60° = 120°।
11किसी कोण का संपूरक उसके पूरक का तीन गुना है। वह कोण कितना है?
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सही उत्तर: (A) 45°
मान लें कोण x है। तब 180−x = 3(90−x), जिससे 2x = 90 और x = 45°।
मान लें कोण x है। तब 180−x = 3(90−x), जिससे 2x = 90 और x = 45°।
12एक कोण अपने पूरक कोण से 60° कम है। कोण की माप क्या है?
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सही उत्तर: (A) 15°
मान लें कोण x है। इसका पूरक 90−x होगा और x = (90−x)−60, अतः 2x = 30 तथा x = 15°।
मान लें कोण x है। इसका पूरक 90−x होगा और x = (90−x)−60, अतः 2x = 30 तथा x = 15°।
13एक कोण अपने संपूरक कोण से 30° अधिक है। कोण कितना है?
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सही उत्तर: (B) 105°
x = (180−x)+30 रखने पर 2x = 210 मिलता है। इसलिए x = 105°।
x = (180−x)+30 रखने पर 2x = 210 मिलता है। इसलिए x = 105°।
14किसी कोण का पूरक उसके संपूरक का एक-तिहाई है। वह कोण कितना है?
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सही उत्तर: (A) 45°
90−x = (180−x)/3 रखने पर 270−3x = 180−x, इसलिए 2x = 90 और x = 45°।
90−x = (180−x)/3 रखने पर 270−3x = 180−x, इसलिए 2x = 90 और x = 45°।
15ऋजु कोण की माप कितनी होती है?
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सही उत्तर: (D) 180°
ऋजु या सरल कोण की दोनों भुजाएँ विपरीत किरणें होती हैं। इसलिए इसकी माप 180° होती है।
ऋजु या सरल कोण की दोनों भुजाएँ विपरीत किरणें होती हैं। इसलिए इसकी माप 180° होती है।
16यूक्लिड के अनुसार बिंदु की क्या विशेषता है?
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सही उत्तर: (B) इसका कोई आकार या भाग नहीं होता
यूक्लिड ने बिंदु को ऐसी वस्तु माना है जिसका कोई भाग नहीं होता। इसमें लंबाई, चौड़ाई या मोटाई नहीं होती।
यूक्लिड ने बिंदु को ऐसी वस्तु माना है जिसका कोई भाग नहीं होता। इसमें लंबाई, चौड़ाई या मोटाई नहीं होती।
17“किसी एक बिंदु से किसी अन्य बिंदु तक सीधी रेखा खींची जा सकती है”—यह क्या है?
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सही उत्तर: (D) यूक्लिड की अभिधारणा
यह यूक्लिड की प्रथम अभिधारणा है। अभिधारणा को बिना प्रमाण के स्वीकार किया जाता है।
यह यूक्लिड की प्रथम अभिधारणा है। अभिधारणा को बिना प्रमाण के स्वीकार किया जाता है।
18जिस कथन को बिना प्रमाण के सत्य स्वीकार किया जाता है, वह कहलाता है—
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सही उत्तर: (C) स्वयंसिद्ध
स्वयंसिद्ध ऐसा मूल कथन है जिसे स्वयं स्पष्ट मानकर बिना प्रमाण के स्वीकार किया जाता है।
स्वयंसिद्ध ऐसा मूल कथन है जिसे स्वयं स्पष्ट मानकर बिना प्रमाण के स्वीकार किया जाता है।
19“यदि बराबर राशियों में से बराबर राशियाँ घटाई जाएँ, तो शेष बराबर होते हैं”—यह कौन-सा स्वयंसिद्ध है?
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सही उत्तर: (B) तृतीय
यह यूक्लिड का तीसरा स्वयंसिद्ध है, जो बराबर राशियों में समान घटाव के बाद समानता बनाए रखता है।
यह यूक्लिड का तीसरा स्वयंसिद्ध है, जो बराबर राशियों में समान घटाव के बाद समानता बनाए रखता है।
20यूक्लिड ने सामान्य धारणाओं के रूप में कितने स्वयंसिद्ध प्रस्तुत किए?
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सही उत्तर: (C) सात
विद्यालयी यूक्लिडीय ज्यामिति में सात सामान्य धारणाएँ या स्वयंसिद्ध सूचीबद्ध किए जाते हैं।
विद्यालयी यूक्लिडीय ज्यामिति में सात सामान्य धारणाएँ या स्वयंसिद्ध सूचीबद्ध किए जाते हैं।
21विशेष रूप से ज्यामिति में प्रयोग किए जाने वाले बिना प्रमाण स्वीकार किए गए कथन कहलाते हैं—
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सही उत्तर: (D) अभिधारणाएँ
अभिधारणाएँ ज्यामिति से संबंधित मूल मान्यताएँ होती हैं, जिन्हें सिद्ध किए बिना स्वीकार किया जाता है।
अभिधारणाएँ ज्यामिति से संबंधित मूल मान्यताएँ होती हैं, जिन्हें सिद्ध किए बिना स्वीकार किया जाता है।
22“जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों, वे परस्पर बराबर होती हैं”—यह कौन-सा स्वयंसिद्ध है?
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सही उत्तर: (A) प्रथम स्वयंसिद्ध
यदि A = C और B = C है, तो A = B होगा। यही यूक्लिड की प्रथम सामान्य धारणा है।
यदि A = C और B = C है, तो A = B होगा। यही यूक्लिड की प्रथम सामान्य धारणा है।
23किसी वस्तु और उसके संपूर्ण भाग में कौन बड़ा होता है?
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सही उत्तर: (C) संपूर्ण वस्तु
यूक्लिड के स्वयंसिद्ध के अनुसार संपूर्ण अपने किसी भी भाग से बड़ा होता है।
यूक्लिड के स्वयंसिद्ध के अनुसार संपूर्ण अपने किसी भी भाग से बड़ा होता है।
24एक निश्चित केंद्र और निश्चित त्रिज्या लेकर क्या बनाया जा सकता है?
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सही उत्तर: (B) एक वृत्त
यूक्लिड की तीसरी अभिधारणा के अनुसार किसी भी केंद्र और त्रिज्या से वृत्त खींचा जा सकता है।
यूक्लिड की तीसरी अभिधारणा के अनुसार किसी भी केंद्र और त्रिज्या से वृत्त खींचा जा सकता है।
25सभी समकोणों के विषय में यूक्लिड की धारणा क्या है?
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सही उत्तर: (A) सभी समकोण बराबर होते हैं
यह यूक्लिड की चौथी अभिधारणा है। प्रत्येक समकोण की माप 90° होती है, इसलिए सभी समकोण बराबर हैं।
यह यूक्लिड की चौथी अभिधारणा है। प्रत्येक समकोण की माप 90° होती है, इसलिए सभी समकोण बराबर हैं।
सेट–2 : प्रश्न 26 से 50
26एक सीधी रेखा का एक भाग, जो एक बिंदु से आरंभ होकर एक दिशा में अनंत तक बढ़ता है, कहलाता है—
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सही उत्तर: (A) किरण
किरण का एक प्रारंभिक बिंदु होता है और वह दूसरी दिशा में अनंत तक आगे बढ़ती है।
किरण का एक प्रारंभिक बिंदु होता है और वह दूसरी दिशा में अनंत तक आगे बढ़ती है।
27जिस रेखीय भाग के दोनों सिरे निश्चित हों, उसे क्या कहते हैं?
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सही उत्तर: (A) रेखाखंड
रेखाखंड के दो निश्चित अंत बिंदु होते हैं। इसलिए इसकी लंबाई मापी जा सकती है।
रेखाखंड के दो निश्चित अंत बिंदु होते हैं। इसलिए इसकी लंबाई मापी जा सकती है।
28दो भिन्न रेखाएँ अधिकतम कितने बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं?
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सही उत्तर: (A) एक बिंदु पर
यदि दो रेखाओं के दो उभयनिष्ठ बिंदु हों, तो दोनों एक ही रेखा होंगी। अतः भिन्न रेखाएँ अधिकतम एक बिंदु पर मिलती हैं।
यदि दो रेखाओं के दो उभयनिष्ठ बिंदु हों, तो दोनों एक ही रेखा होंगी। अतः भिन्न रेखाएँ अधिकतम एक बिंदु पर मिलती हैं।
29एक रेखाखंड के कितने मध्यबिंदु होते हैं?
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सही उत्तर: (A) एक
मध्यबिंदु रेखाखंड को दो बराबर भागों में बाँटता है। ऐसा बिंदु किसी रेखाखंड पर केवल एक होता है।
मध्यबिंदु रेखाखंड को दो बराबर भागों में बाँटता है। ऐसा बिंदु किसी रेखाखंड पर केवल एक होता है।
30एक पूर्ण कोण की माप कितनी होती है?
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सही उत्तर: (D) 360°
एक किरण जब अपने प्रारंभिक स्थान से पूरा एक चक्कर लगाती है, तो 360° का पूर्ण कोण बनता है।
एक किरण जब अपने प्रारंभिक स्थान से पूरा एक चक्कर लगाती है, तो 360° का पूर्ण कोण बनता है।
31एक समकोण की माप कितनी होती है?
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सही उत्तर: (C) 90°
जब दो किरणों के बीच का कोण एक चौथाई पूर्ण घूर्णन के बराबर हो, तो वह 90° का समकोण होता है।
जब दो किरणों के बीच का कोण एक चौथाई पूर्ण घूर्णन के बराबर हो, तो वह 90° का समकोण होता है।
3290° से छोटा धनात्मक कोण कहलाता है—
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सही उत्तर: (B) न्यून कोण
जिस कोण की माप 0° से अधिक और 90° से कम होती है, वह न्यून कोण कहलाता है।
जिस कोण की माप 0° से अधिक और 90° से कम होती है, वह न्यून कोण कहलाता है।
3390° से अधिक लेकिन 180° से छोटा कोण कहलाता है—
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सही उत्तर: (B) अधिक कोण
90° और 180° के बीच की माप वाला कोण अधिक या अधिककोण कहलाता है।
90° और 180° के बीच की माप वाला कोण अधिक या अधिककोण कहलाता है।
34एक त्रिभुज के तीनों अंतःकोणों का योग कितना होता है?
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सही उत्तर: (B) 180°
यूक्लिडीय ज्यामिति में किसी भी त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों की मापों का योग 180° होता है।
यूक्लिडीय ज्यामिति में किसी भी त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों की मापों का योग 180° होता है।
35यदि किसी त्रिभुज के दो कोण 45° और 65° हैं, तो तीसरा कोण कितना होगा?
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सही उत्तर: (C) 70°
तीसरा कोण = 180° − (45° + 65°) = 180° − 110° = 70°।
तीसरा कोण = 180° − (45° + 65°) = 180° − 110° = 70°।
36“बराबर राशियों में बराबर राशियाँ जोड़ने पर योग बराबर होते हैं”—यह यूक्लिड का कौन-सा स्वयंसिद्ध है?
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सही उत्तर: (B) द्वितीय
यदि a = b और c = d हो, तो a + c = b + d होगा। यही यूक्लिड का दूसरा स्वयंसिद्ध है।
यदि a = b और c = d हो, तो a + c = b + d होगा। यही यूक्लिड का दूसरा स्वयंसिद्ध है।
37“जो वस्तुएँ परस्पर संपाती हों, वे बराबर होती हैं”—यह कौन-सा स्वयंसिद्ध है?
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सही उत्तर: (C) चौथा
यदि दो आकृतियाँ एक-दूसरे पर पूरी तरह संपाती हों, तो उनकी माप और आकार समान होते हैं।
यदि दो आकृतियाँ एक-दूसरे पर पूरी तरह संपाती हों, तो उनकी माप और आकार समान होते हैं।
38“संपूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है”—यह क्या है?
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सही उत्तर: (A) यूक्लिड का स्वयंसिद्ध
यह यूक्लिड की सामान्य धारणा है, जिसके अनुसार पूरी वस्तु उसके किसी एक भाग से बड़ी होती है।
यह यूक्लिड की सामान्य धारणा है, जिसके अनुसार पूरी वस्तु उसके किसी एक भाग से बड़ी होती है।
39यूक्लिड की दूसरी अभिधारणा क्या कहती है?
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सही उत्तर: (A)
दूसरी अभिधारणा के अनुसार किसी समाप्त या सीमित सीधी रेखा को दोनों ओर लगातार बढ़ाया जा सकता है।
दूसरी अभिधारणा के अनुसार किसी समाप्त या सीमित सीधी रेखा को दोनों ओर लगातार बढ़ाया जा सकता है।
40यूक्लिड की तीसरी अभिधारणा किस आकृति की रचना से संबंधित है?
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सही उत्तर: (C) वृत्त
तीसरी अभिधारणा के अनुसार किसी भी केंद्र और किसी भी त्रिज्या से एक वृत्त खींचा जा सकता है।
तीसरी अभिधारणा के अनुसार किसी भी केंद्र और किसी भी त्रिज्या से एक वृत्त खींचा जा सकता है।
41यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा मुख्यतः किससे संबंधित है?
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सही उत्तर: (B) समांतर रेखाओं से
पाँचवीं अभिधारणा एक तिर्यक रेखा द्वारा दो रेखाओं को काटने और उनके मिलने की स्थिति बताती है।
पाँचवीं अभिधारणा एक तिर्यक रेखा द्वारा दो रेखाओं को काटने और उनके मिलने की स्थिति बताती है।
42दो रेखाएँ एक ही तल में हों और कितनी भी बढ़ाने पर न मिलें, तो वे कहलाती हैं—
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सही उत्तर: (C) समांतर रेखाएँ
एक ही तल में स्थित वे रेखाएँ जो दोनों ओर बढ़ाने पर भी नहीं मिलतीं, समांतर रेखाएँ कहलाती हैं।
एक ही तल में स्थित वे रेखाएँ जो दोनों ओर बढ़ाने पर भी नहीं मिलतीं, समांतर रेखाएँ कहलाती हैं।
43यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे को 90° के कोण पर काटती हैं, तो वे क्या कहलाती हैं?
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सही उत्तर: (B) लंबवत रेखाएँ
दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर बने प्रत्येक कोण की माप 90° हो, तो वे परस्पर लंबवत होती हैं।
दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर बने प्रत्येक कोण की माप 90° हो, तो वे परस्पर लंबवत होती हैं।
44दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से बने शीर्षाभिमुख कोणों के बीच क्या संबंध होता है?
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सही उत्तर: (A) वे बराबर होते हैं
जब दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो आमने-सामने बने प्रत्येक शीर्षाभिमुख कोण-युग्म की माप समान होती है।
जब दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो आमने-सामने बने प्रत्येक शीर्षाभिमुख कोण-युग्म की माप समान होती है।
45एक रेखीय युग्म का एक कोण 125° है। दूसरा कोण कितना होगा?
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सही उत्तर: (B) 55°
रेखीय युग्म के दोनों कोणों का योग 180° होता है। अतः दूसरा कोण 180° − 125° = 55° है।
रेखीय युग्म के दोनों कोणों का योग 180° होता है। अतः दूसरा कोण 180° − 125° = 55° है।
46यदि दो संपूरक कोणों का अनुपात 2 : 3 हो, तो छोटा कोण कितना होगा?
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सही उत्तर: (B) 72°
दोनों कोण 2x और 3x होंगे। 5x = 180° से x = 36°, अतः छोटा कोण 2x = 72°।
दोनों कोण 2x और 3x होंगे। 5x = 180° से x = 36°, अतः छोटा कोण 2x = 72°।
47यदि दो पूरक कोण बराबर हों, तो प्रत्येक कोण की माप कितनी होगी?
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सही उत्तर: (B) 45°
मान लें प्रत्येक कोण x है। तब x + x = 90°, इसलिए 2x = 90° और x = 45°।
मान लें प्रत्येक कोण x है। तब x + x = 90°, इसलिए 2x = 90° और x = 45°।
48एक त्रिभुज का बाह्य कोण किन कोणों के योग के बराबर होता है?
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सही उत्तर: (A)
त्रिभुज का एक बाह्य कोण उसके दो असंलग्न अंतःसम्मुख कोणों की मापों के योग के बराबर होता है।
त्रिभुज का एक बाह्य कोण उसके दो असंलग्न अंतःसम्मुख कोणों की मापों के योग के बराबर होता है।
49यदि किसी त्रिभुज के दो अंतःसम्मुख कोण 50° और 65° हों, तो संबंधित बाह्य कोण कितना होगा?
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सही उत्तर: (C) 115°
बाह्य कोण = दोनों अंतःसम्मुख कोणों का योग = 50° + 65° = 115°।
बाह्य कोण = दोनों अंतःसम्मुख कोणों का योग = 50° + 65° = 115°।
50यदि AB = CD और CD = EF है, तो कौन-सा निष्कर्ष सही है?
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सही उत्तर: (C) AB = EF
जो राशियाँ एक ही राशि के बराबर होती हैं, वे परस्पर भी बराबर होती हैं। इसलिए AB = EF।
जो राशियाँ एक ही राशि के बराबर होती हैं, वे परस्पर भी बराबर होती हैं। इसलिए AB = EF।
सेट–3 : प्रश्न 51 से 75
51दो ज्यामितीय आकृतियाँ समान आकार और समान माप की हों, तो वे कहलाती हैं—
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सही उत्तर: (B) सर्वांगसम
सर्वांगसम आकृतियों का आकार और माप दोनों समान होते हैं तथा वे एक-दूसरे पर पूरी तरह संपाती होती हैं।
सर्वांगसम आकृतियों का आकार और माप दोनों समान होते हैं तथा वे एक-दूसरे पर पूरी तरह संपाती होती हैं।
52सर्वांगसमता को किस संकेत से दर्शाया जाता है?
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सही उत्तर: (B) ≅
चिह्न ≅ का प्रयोग दो आकृतियों की सर्वांगसमता दर्शाने के लिए किया जाता है।
चिह्न ≅ का प्रयोग दो आकृतियों की सर्वांगसमता दर्शाने के लिए किया जाता है।
53यदि ΔABC ≅ ΔPQR है, तो भुजा AB के संगत कौन-सी भुजा होगी?
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सही उत्तर: (A) PQ
दिए गए क्रम में A का संगत P और B का संगत Q है। इसलिए AB की संगत भुजा PQ होगी।
दिए गए क्रम में A का संगत P और B का संगत Q है। इसलिए AB की संगत भुजा PQ होगी।
54यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण बराबर हो, तो कौन-सा सर्वांगसमता नियम लागू होगा?
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सही उत्तर: (B) SAS
SAS का अर्थ भुजा–कोण–भुजा है। इसमें बराबर कोण दोनों बराबर भुजाओं के बीच स्थित होना चाहिए।
SAS का अर्थ भुजा–कोण–भुजा है। इसमें बराबर कोण दोनों बराबर भुजाओं के बीच स्थित होना चाहिए।
55दो समकोण त्रिभुजों के कर्ण और एक संगत भुजा के बराबर होने पर कौन-सा नियम लागू होता है?
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सही उत्तर: (C) RHS
RHS नियम में समकोण, कर्ण और एक संगत भुजा बराबर होने पर दोनों समकोण त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
RHS नियम में समकोण, कर्ण और एक संगत भुजा बराबर होने पर दोनों समकोण त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
5645° के कोण का संपूरक कोण कितना होगा?
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सही उत्तर: (D) 135°
संपूरक कोणों का योग 180° होता है। अतः 180° − 45° = 135°।
संपूरक कोणों का योग 180° होता है। अतः 180° − 45° = 135°।
57रेखा में कितने विमा होते हैं?
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सही उत्तर: (B) एक
रेखा में केवल लंबाई होती है; चौड़ाई और मोटाई नहीं होती। इसलिए यह एक-विमीय होती है।
रेखा में केवल लंबाई होती है; चौड़ाई और मोटाई नहीं होती। इसलिए यह एक-विमीय होती है।
58एक समतल पृष्ठ में कितने विमा होते हैं?
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सही उत्तर: (C) दो
समतल पृष्ठ में लंबाई और चौड़ाई होती है, लेकिन मोटाई नहीं होती। इसलिए इसके दो विमा होते हैं।
समतल पृष्ठ में लंबाई और चौड़ाई होती है, लेकिन मोटाई नहीं होती। इसलिए इसके दो विमा होते हैं।
59एक ठोस वस्तु के कितने विमा होते हैं?
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सही उत्तर: (C) तीन
ठोस वस्तु में लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई या मोटाई होती है। अतः वह त्रिविमीय होती है।
ठोस वस्तु में लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई या मोटाई होती है। अतः वह त्रिविमीय होती है।
60यूक्लिड के अनुसार रेखा के सिरे क्या होते हैं?
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सही उत्तर: (B) बिंदु
यूक्लिड की परिभाषा के अनुसार किसी रेखा के अंतिम सिरे बिंदु होते हैं।
यूक्लिड की परिभाषा के अनुसार किसी रेखा के अंतिम सिरे बिंदु होते हैं।
61एक वृत्त की सभी त्रिज्याओं के बीच क्या संबंध होता है?
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सही उत्तर: (A) सभी बराबर होती हैं
वृत्त के केंद्र से उसकी परिधि तक खींचे गए सभी रेखाखंड उसी वृत्त की त्रिज्याएँ हैं और समान होते हैं।
वृत्त के केंद्र से उसकी परिधि तक खींचे गए सभी रेखाखंड उसी वृत्त की त्रिज्याएँ हैं और समान होते हैं।
62यदि किसी वृत्त की त्रिज्या r है, तो उसका व्यास कितना होगा?
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सही उत्तर: (C) 2r
व्यास केंद्र से गुजरते हुए दो त्रिज्याओं से बनता है। इसलिए व्यास = r + r = 2r।
व्यास केंद्र से गुजरते हुए दो त्रिज्याओं से बनता है। इसलिए व्यास = r + r = 2r।
63एक दी हुई रेखा के बाहर स्थित एक बिंदु से उसके समांतर कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
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सही उत्तर: (A) केवल एक
प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध के अनुसार बाहरी बिंदु से दी गई रेखा के समांतर केवल एक रेखा खींची जा सकती है।
प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध के अनुसार बाहरी बिंदु से दी गई रेखा के समांतर केवल एक रेखा खींची जा सकती है।
64यूक्लिड किस देश के प्रसिद्ध गणितज्ञ थे?
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सही उत्तर: (B) यूनान
यूक्लिड प्राचीन यूनानी गणितज्ञ थे। उन्होंने मिस्र के अलेक्जेंड्रिया में गणित का अध्यापन किया था।
यूक्लिड प्राचीन यूनानी गणितज्ञ थे। उन्होंने मिस्र के अलेक्जेंड्रिया में गणित का अध्यापन किया था।
65यूक्लिड की प्रसिद्ध गणितीय रचना का नाम क्या है?
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सही उत्तर: (A) एलिमेंट्स
यूक्लिड ने उपलब्ध ज्यामितीय ज्ञान को व्यवस्थित करके “एलिमेंट्स” नामक ग्रंथ में प्रस्तुत किया।
यूक्लिड ने उपलब्ध ज्यामितीय ज्ञान को व्यवस्थित करके “एलिमेंट्स” नामक ग्रंथ में प्रस्तुत किया।
66यूक्लिड की पुस्तक “एलिमेंट्स” में कुल कितने भाग या पुस्तकें मानी जाती हैं?
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सही उत्तर: (D) 13
यूक्लिड की मूल रचना “एलिमेंट्स” तेरह पुस्तकों का सुव्यवस्थित संग्रह मानी जाती है।
यूक्लिड की मूल रचना “एलिमेंट्स” तेरह पुस्तकों का सुव्यवस्थित संग्रह मानी जाती है।
67निम्नलिखित में से कौन ज्यामिति का एक अपरिभाषित पद है?
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सही उत्तर: (A) बिंदु
आधुनिक ज्यामिति में बिंदु, रेखा और तल को मूल या अपरिभाषित पद मानकर अन्य आकृतियों को परिभाषित किया जाता है।
आधुनिक ज्यामिति में बिंदु, रेखा और तल को मूल या अपरिभाषित पद मानकर अन्य आकृतियों को परिभाषित किया जाता है।
68स्वयंसिद्ध और अभिधारणा में मुख्य अंतर क्या है?
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सही उत्तर: (A)
स्वयंसिद्ध सामान्य गणितीय सत्य होते हैं, जबकि अभिधारणाएँ विशेष रूप से ज्यामिति से संबंधित मान्यताएँ होती हैं।
स्वयंसिद्ध सामान्य गणितीय सत्य होते हैं, जबकि अभिधारणाएँ विशेष रूप से ज्यामिति से संबंधित मान्यताएँ होती हैं।
69जिस गणितीय कथन को तार्किक प्रमाण द्वारा सत्य सिद्ध किया जाता है, वह कहलाता है—
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सही उत्तर: (C) प्रमेय
प्रमेय को परिभाषाओं, स्वयंसिद्धों, अभिधारणाओं और पहले सिद्ध परिणामों की सहायता से प्रमाणित किया जाता है।
प्रमेय को परिभाषाओं, स्वयंसिद्धों, अभिधारणाओं और पहले सिद्ध परिणामों की सहायता से प्रमाणित किया जाता है।
70यदि a = b है, तो 2a और 2b के बीच क्या संबंध होगा?
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सही उत्तर: (C) 2a = 2b
बराबर राशियों के दुगुने भी बराबर होते हैं। a = b के दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर 2a = 2b मिलता है।
बराबर राशियों के दुगुने भी बराबर होते हैं। a = b के दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर 2a = 2b मिलता है।
71यदि समान राशियों को आधा किया जाए, तो प्राप्त राशियाँ कैसी होंगी?
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सही उत्तर: (A) बराबर
यदि a = b है, तो दोनों को 2 से भाग देने पर a/2 = b/2 होगा। अतः समान राशियों के आधे भी समान होते हैं।
यदि a = b है, तो दोनों को 2 से भाग देने पर a/2 = b/2 होगा। अतः समान राशियों के आधे भी समान होते हैं।
72एक त्रिभुज के दो कोण 40° और 60° हैं। तीसरा कोण कितना होगा?
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सही उत्तर: (B) 80°
त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है। तीसरा कोण = 180° − 40° − 60° = 80°।
त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है। तीसरा कोण = 180° − 40° − 60° = 80°।
73किसी त्रिभुज का एक बाह्य कोण 110° है। उसके संलग्न अंतःकोण की माप क्या होगी?
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सही उत्तर: (B) 70°
बाह्य कोण और उसका संलग्न अंतःकोण रेखीय युग्म बनाते हैं। अतः अंतःकोण = 180° − 110° = 70°।
बाह्य कोण और उसका संलग्न अंतःकोण रेखीय युग्म बनाते हैं। अतः अंतःकोण = 180° − 110° = 70°।
74दो शीर्षाभिमुख कोणों की माप क्रमशः (3x + 10)° और 70° है। x का मान क्या है?
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सही उत्तर: (C) 20
शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं। इसलिए 3x + 10 = 70, जिससे 3x = 60 और x = 20।
शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं। इसलिए 3x + 10 = 70, जिससे 3x = 60 और x = 20।
75एक रेखीय युग्म के कोण x° और 2x° हैं। छोटे कोण की माप क्या होगी?
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सही उत्तर: (C) 60°
रेखीय युग्म का योग 180° होता है। x + 2x = 180° से 3x = 180° और x = 60°।
रेखीय युग्म का योग 180° होता है। x + 2x = 180° से 3x = 180° और x = 60°।
सेट–4 : प्रश्न 76 से 100
76दो पूरक कोणों का अनुपात 2 : 3 है। छोटा कोण कितना होगा?
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सही उत्तर: (B) 36°
कोण 2x और 3x होंगे। 5x = 90° से x = 18°, इसलिए छोटा कोण 2x = 36°।
कोण 2x और 3x होंगे। 5x = 90° से x = 18°, इसलिए छोटा कोण 2x = 36°।
77दो संपूरक कोणों का अंतर 40° है। छोटा कोण कितना होगा?
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सही उत्तर: (B) 70°
छोटा कोण x तथा बड़ा x+40 मानें। 2x+40 = 180° से x = 70°।
छोटा कोण x तथा बड़ा x+40 मानें। 2x+40 = 180° से x = 70°।
78किसी त्रिभुज के कोण x°, 2x° और 3x° हैं। सबसे छोटा कोण कितना होगा?
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सही उत्तर: (A) 30°
x+2x+3x = 180° से 6x = 180° तथा x = 30°। यही सबसे छोटा कोण है।
x+2x+3x = 180° से 6x = 180° तथा x = 30°। यही सबसे छोटा कोण है।
79एक समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण 40° है। प्रत्येक आधार कोण कितना होगा?
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सही उत्तर: (C) 70°
दोनों आधार कोण बराबर होंगे। प्रत्येक आधार कोण = (180°−40°)/2 = 70°।
दोनों आधार कोण बराबर होंगे। प्रत्येक आधार कोण = (180°−40°)/2 = 70°।
80समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक अंतःकोण की माप कितनी होती है?
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सही उत्तर: (B) 60°
समबाहु त्रिभुज के तीनों कोण बराबर होते हैं। इसलिए प्रत्येक कोण = 180°/3 = 60°।
समबाहु त्रिभुज के तीनों कोण बराबर होते हैं। इसलिए प्रत्येक कोण = 180°/3 = 60°।
81एक रेखीय युग्म के कोण x° और (x+20)° हैं। छोटा कोण कितना होगा?
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सही उत्तर: (B) 80°
x+(x+20) = 180° से 2x = 160° और x = 80°।
x+(x+20) = 180° से 2x = 160° और x = 80°।
82एक बिंदु के चारों ओर बने सभी कोणों का योग कितना होता है?
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सही उत्तर: (D) 360°
किसी बिंदु के चारों ओर एक पूरा घूर्णन बनता है, जिसकी माप 360° होती है।
किसी बिंदु के चारों ओर एक पूरा घूर्णन बनता है, जिसकी माप 360° होती है।
83एक बिंदु के चारों ओर चार कोण 90°, 110°, 70° और x° हैं। x का मान क्या है?
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सही उत्तर: (B) 90°
x = 360°−(90°+110°+70°) = 360°−270° = 90°।
x = 360°−(90°+110°+70°) = 360°−270° = 90°।
84एक तिर्यक रेखा द्वारा दो रेखाओं को काटने पर संगत कोण बराबर हों, तो दोनों रेखाएँ होंगी—
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सही उत्तर: (A) समांतर
संगत कोणों की बराबरी दो रेखाओं के समांतर होने की एक मान्य कसौटी है।
संगत कोणों की बराबरी दो रेखाओं के समांतर होने की एक मान्य कसौटी है।
85दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है। एक ही ओर के अंतःकोणों का योग होगा—
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सही उत्तर: (C) 180°
समांतर रेखाओं के एक ही ओर स्थित अंतःकोण संपूरक होते हैं, इसलिए उनका योग 180° होता है।
समांतर रेखाओं के एक ही ओर स्थित अंतःकोण संपूरक होते हैं, इसलिए उनका योग 180° होता है।
86यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा का सरल समतुल्य रूप कौन-सा है?
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सही उत्तर: (B)
प्लेफेयर का स्वयंसिद्ध यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा का प्रसिद्ध समतुल्य कथन है।
प्लेफेयर का स्वयंसिद्ध यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा का प्रसिद्ध समतुल्य कथन है।
87यदि AB = BC और BC = CD है, तो कौन-सा निष्कर्ष सही है?
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सही उत्तर: (A) AB = CD
जो राशियाँ एक ही राशि के बराबर हों, वे आपस में भी बराबर होती हैं। इसलिए AB = CD।
जो राशियाँ एक ही राशि के बराबर हों, वे आपस में भी बराबर होती हैं। इसलिए AB = CD।
88दो त्रिभुजों के दो कोण और उनके बीच की संगत भुजा बराबर हों, तो कौन-सा नियम लागू होगा?
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सही उत्तर: (C) ASA
ASA का अर्थ कोण–भुजा–कोण है। इसमें बराबर भुजा दोनों बराबर कोणों के बीच स्थित होती है।
ASA का अर्थ कोण–भुजा–कोण है। इसमें बराबर भुजा दोनों बराबर कोणों के बीच स्थित होती है।
89दो त्रिभुजों की तीनों संगत भुजाएँ बराबर हों, तो वे किस नियम से सर्वांगसम होंगे?
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सही उत्तर: (D) SSS
SSS नियम में दोनों त्रिभुजों की तीनों संगत भुजाएँ बराबर होने पर त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
SSS नियम में दोनों त्रिभुजों की तीनों संगत भुजाएँ बराबर होने पर त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
नए संभावित परीक्षा प्रश्न : 90 से 100
90एक कोण अपने पूरक कोण का दोगुना है। उस कोण की माप क्या है?
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सही उत्तर: (C) 60°
कोण x मानें। x = 2(90−x) से 3x = 180° और x = 60°।
कोण x मानें। x = 2(90−x) से 3x = 180° और x = 60°।
91बिंदु को कितने विमीय ज्यामितीय वस्तु माना जाता है?
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सही उत्तर: (A) शून्य-विमीय
बिंदु में लंबाई, चौड़ाई और मोटाई नहीं होती। इसलिए उसे शून्य-विमीय माना जाता है।
बिंदु में लंबाई, चौड़ाई और मोटाई नहीं होती। इसलिए उसे शून्य-विमीय माना जाता है।
92यूक्लिड के अनुसार किसी पृष्ठ की सीमाएँ क्या होती हैं?
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सही उत्तर: (B) रेखाएँ
यूक्लिड की परिभाषा के अनुसार पृष्ठ की सीमाएँ रेखाएँ होती हैं।
यूक्लिड की परिभाषा के अनुसार पृष्ठ की सीमाएँ रेखाएँ होती हैं।
93यदि a = b तथा c = d है, तो यूक्लिड के स्वयंसिद्ध के अनुसार कौन-सा कथन सही है?
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सही उत्तर: (A) a+c = b+d
बराबर राशियों में बराबर राशियाँ जोड़ने पर प्राप्त योग भी बराबर होते हैं।
बराबर राशियों में बराबर राशियाँ जोड़ने पर प्राप्त योग भी बराबर होते हैं।
94एक कोण अपने संपूरक कोण का पाँचवाँ भाग है। वह कोण कितना होगा?
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सही उत्तर: (B) 30°
x = (180−x)/5 से 5x = 180−x, अतः 6x = 180° और x = 30°।
x = (180−x)/5 से 5x = 180−x, अतः 6x = 180° और x = 30°।
95दो पूरक कोणों का अंतर 18° है। बड़ा कोण कितना होगा?
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सही उत्तर: (C) 54°
छोटा कोण x और बड़ा x+18 मानें। 2x+18 = 90° से x = 36°, इसलिए बड़ा कोण 54° है।
छोटा कोण x और बड़ा x+18 मानें। 2x+18 = 90° से x = 36°, इसलिए बड़ा कोण 54° है।
96दो संपूरक कोणों का अनुपात 4 : 5 है। छोटा कोण कितना होगा?
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सही उत्तर: (B) 80°
कोण 4x और 5x होंगे। 9x = 180° से x = 20°, अतः छोटा कोण 4x = 80°।
कोण 4x और 5x होंगे। 9x = 180° से x = 20°, अतः छोटा कोण 4x = 80°।
97दो शीर्षाभिमुख कोण (5x−10)° और (3x+30)° हैं। x का मान क्या है?
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सही उत्तर: (C) 20
शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं। 5x−10 = 3x+30 से 2x = 40 और x = 20।
शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं। 5x−10 = 3x+30 से 2x = 40 और x = 20।
98एक त्रिभुज का बाह्य कोण 125° है और एक अंतःसम्मुख कोण 55° है। दूसरा अंतःसम्मुख कोण कितना होगा?
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सही उत्तर: (C) 70°
बाह्य कोण दोनों अंतःसम्मुख कोणों के योग के बराबर है। दूसरा कोण = 125°−55° = 70°।
बाह्य कोण दोनों अंतःसम्मुख कोणों के योग के बराबर है। दूसरा कोण = 125°−55° = 70°।
99किसी प्रमेय को सिद्ध करने की तार्किक प्रक्रिया को क्या कहते हैं?
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सही उत्तर: (B) प्रमाण
स्वीकृत तथ्यों और तार्किक चरणों द्वारा किसी कथन की सत्यता स्थापित करने की प्रक्रिया प्रमाण कहलाती है।
स्वीकृत तथ्यों और तार्किक चरणों द्वारा किसी कथन की सत्यता स्थापित करने की प्रक्रिया प्रमाण कहलाती है।
100यूक्लिडीय ज्यामिति मुख्य रूप से किस प्रकार के पृष्ठ का अध्ययन करती है?
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सही उत्तर: (A) समतल पृष्ठ
विद्यालय स्तर की यूक्लिडीय ज्यामिति बिंदु, रेखा और आकृतियों के समतल पृष्ठ पर गुणों का अध्ययन करती है।
विद्यालय स्तर की यूक्लिडीय ज्यामिति बिंदु, रेखा और आकृतियों के समतल पृष्ठ पर गुणों का अध्ययन करती है।