अध्याय 9 — त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
Some Applications of Trigonometry — संपूर्ण परिभाषाएँ, सूत्र और पुस्तक-शैली के हल
विषय-सूची
1. भूमिका
त्रिकोणमिति की सहायता से किसी मीनार, भवन, पहाड़ी, पेड़ या खंभे की ऊँचाई तथा किसी वस्तु की दूरी को बिना सीधे मापे ज्ञात किया जा सकता है। इस अध्याय में मुख्यतः उन्नयन कोण और अवनमन कोण का उपयोग किया जाता है।
2. आवश्यक पद
| पद | अर्थ |
|---|---|
| क्षैतिज तल | पृथ्वी के तल के समानांतर माना गया तल |
| क्षैतिज रेखा | क्षैतिज तल के समानांतर खींची गई सरल रेखा |
| दृष्टि-रेखा | दर्शक की आँख और देखी जाने वाली वस्तु को मिलाने वाली रेखा |
| उन्नयन कोण | वस्तु आँख के स्तर से ऊपर होने पर दृष्टि-रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच का कोण |
| अवनमन कोण | वस्तु आँख के स्तर से नीचे होने पर क्षैतिज रेखा और दृष्टि-रेखा के बीच का कोण |
3. उन्नयन कोण
जब कोई वस्तु दर्शक की आँख से ऊपर हो और दर्शक ऊपर की ओर देखे, तब क्षैतिज रेखा से दृष्टि-रेखा तक बनने वाला कोण उन्नयन कोण कहलाता है।
4. अवनमन कोण
जब कोई वस्तु दर्शक की आँख से नीचे हो और दर्शक नीचे की ओर देखे, तब क्षैतिज रेखा से दृष्टि-रेखा तक बनने वाला कोण अवनमन कोण कहलाता है।
ध्यान दें: क्षैतिज रेखाएँ समानांतर होती हैं, इसलिए एक ही दृष्टि-रेखा के लिए अवनमन कोण और संबंधित उन्नयन कोण बराबर होते हैं।
5. प्रश्नों में उपयोग होने वाले जरूरी सूत्र
sin θ = लंबकर्ण
cos θ = आधारकर्ण
tan θ = लंबआधार
cot θ = आधारलंब
| कोण | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| 30° | 12 | √32 | 1√3 |
| 45° | 1√2 | 1√2 | 1 |
| 60° | √32 | 12 | √3 |
6. प्रश्न हल करने की पुस्तक-विधि
- वस्तु, दर्शक और भूमि को दर्शाता समकोण त्रिभुज बनाएँ।
- ज्ञात तथा अज्ञात लंबाइयाँ चित्र में लिखें।
- उन्नयन या अवनमन कोण सही स्थान पर अंकित करें।
- जिन दो भुजाओं की आवश्यकता हो, उनके अनुसार sin, cos या tan चुनें।
- यदि दर्शक की आँख की ऊँचाई दी हो, तो अंत में उसे अवश्य जोड़ें।
7. मूल उदाहरण
उदाहरण: एक खंभे की ऊँचाई 2√3 m और उसकी छाया 2 m है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात करें।मान लें उन्नयन कोण = θ।समकोण त्रिभुज में—tan θ = खंभे की ऊँचाईछाया की लंबाईtan θ = 2√32tan θ = √3 = tan 60°अतः θ = 60°।
8. नदी की चौड़ाई
उदाहरण: नदी पर बना पुल नदी के किनारों के साथ 45° का कोण बनाता है। पुल की लंबाई 150 m है। नदी की चौड़ाई ज्ञात करें।मान लें नदी की चौड़ाई = BC और पुल की लंबाई AB = 150 m।sin 45° = BCAB1√2 = BC150BC = 150√2BC = 75√2 mअतः नदी की चौड़ाई लगभग 106.05 m है।
9. टूटे हुए पेड़ की ऊँचाई
उदाहरण: एक पेड़ टूटकर इस प्रकार झुकता है कि उसका शीर्ष जमीन को छूता है और जमीन के साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु से शीर्ष के जमीन छूने की दूरी 8 m है। पेड़ की मूल ऊँचाई ज्ञात करें।मान लें टूटा भाग AP = x तथा शेष खड़ा भाग PB है।cos 30° = 8x√32 = 8xx = 16√3tan 30° = PB8PB = 8√3मूल ऊँचाई = 16√3 + 8√3मूल ऊँचाई = 24√3 = 8√3 mअतः पेड़ की मूल ऊँचाई 8√3 m है।
10. दो स्थानों से देखी गई वस्तु
उदाहरण: 200√3 m ऊँची पहाड़ी की चोटी से एक जहाज के दो स्थानों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं। यदि दोनों अवलोकनों के बीच 2 मिनट का अंतर हो, तो जहाज की चाल ज्ञात करें।अवनमन कोण संबंधित उन्नयन कोणों के बराबर होंगे।tan 30° = 200√3BC1√3 = 200√3BCBC = 600 mtan 60° = 200√3BD√3 = 200√3BDBD = 200 mCD = BC − BD = 600 − 200 = 400 mचाल = दूरीसमय = 4002 = 200 m/मिनटअतः जहाज की चाल 200 m/मिनट है।
11. समान ऊँचाई वाले दो खंभे
उदाहरण: 80 m चौड़ी सड़क के दोनों ओर समान ऊँचाई के दो खंभे हैं। उनके बीच स्थित बिंदु से खंभों के शीर्षों के उन्नयन कोण 30° और 60° हैं। खंभों की ऊँचाई तथा बिंदु की दोनों खंभों से दूरी ज्ञात करें।मान लें 30° वाले खंभे से दूरी x m है, तब 60° वाले खंभे से दूरी (80 − x) m होगी। दोनों खंभों की समान ऊँचाई AB मानें।tan 30° = ABx1√3 = ABxAB = x√3tan 60° = AB80 − xAB = √3(80 − x)x√3 = √3(80 − x)x = 3(80 − x)x = 240 − 3x4x = 240x = 60 m80 − x = 80 − 60 = 20 mAB = 60√3 = 20√3 mअतः प्रत्येक खंभे की ऊँचाई 20√3 m तथा बिंदु से उनकी दूरियाँ 60 m और 20 m हैं।
12. उन्नयन और अवनमन कोण साथ-साथ
उदाहरण: 7 m ऊँचे भवन के शीर्ष से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° तथा पाद का अवनमन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।मान लें भवन से मीनार की क्षैतिज दूरी BQ है और मीनार की कुल ऊँचाई h m है।tan 45° = 7BQ1 = 7BQBQ = 7 mमीनार का भवन से ऊपर वाला भाग = h − 7 होगा।tan 60° = h − 7BQ√3 = h − 77h − 7 = 7√3h = 7 + 7√3h = 7(1 + √3)h = 7(1 + 1.732) = 19.124 mअतः मीनार की ऊँचाई लगभग 19.124 m है।
13. त्वरित पुनरावृत्ति
- ऊपर देखने पर उन्नयन कोण बनता है।
- नीचे देखने पर अवनमन कोण बनता है।
- समानांतर क्षैतिज रेखाओं के कारण संबंधित उन्नयन और अवनमन कोण बराबर होते हैं।
- ऊँचाई और क्षैतिज दूरी वाले अधिकतर प्रश्नों में tan θ उपयोगी होता है।
- दर्शक की आँख की ऊँचाई को अंतिम उत्तर में जोड़ना न भूलें।
14. अभ्यास प्रश्न
- 12 m लंबी सीढ़ी जमीन के साथ 60° का कोण बनाती है। दीवार पर पहुँची ऊँचाई ज्ञात करें।
- एक खंभे की छाया 10 m तथा सूर्य का उन्नयन कोण 45° है। खंभे की ऊँचाई ज्ञात करें।
- एक भवन से 20 m दूर बिंदु पर शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। भवन की ऊँचाई ज्ञात करें।
- एक मीनार के शीर्ष से 40 m दूर वस्तु का अवनमन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।
उत्तर देखें
(1) 6√3 m
(2) 10 m
(3) 20√3 m
(4) 40 m
15. परीक्षा के लिए जरूरी प्रश्नोत्तर
उन्नयन और अवनमन कोण में क्या अंतर है?
आँख के स्तर से ऊपर की वस्तु देखने पर उन्नयन कोण तथा नीचे की वस्तु देखने पर अवनमन कोण बनता है।
अवनमन कोण को त्रिभुज के अंदर कैसे उपयोग करते हैं?
दर्शक और वस्तु से खींची क्षैतिज रेखाएँ समानांतर होती हैं। एकांतर कोणों के कारण अवनमन कोण संबंधित उन्नयन कोण के बराबर होता है।
किस स्थिति में tan θ सबसे अधिक उपयोगी है?
जब लंबवत ऊँचाई और क्षैतिज दूरी में संबंध स्थापित करना हो, तब tan θ उपयोगी होता है।