BIHAR BOARD • CLASS 10 • MATHS

अध्याय 8 — त्रिकोणमिति का परिचय

Introduction to Trigonometry — संपूर्ण परिभाषाएँ, सूत्र, सारणी, सर्वसमिकाएँ और हल

विषय-सूची (Table of Contents)

1. त्रिकोणमिति का परिचय 2. समकोण त्रिभुज 3. छः त्रिकोणमितीय अनुपात 4. व्युत्क्रम संबंध 5. लंब–आधार की पहचान 6. अनुपातों के उदाहरण 7. विशिष्ट कोणों के मान 8. मान-सारणी 9. पूरक कोणों के संबंध 10. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ 11. सर्वसमिकाओं के प्रमाण 12. एक अनुपात से अन्य अनुपात 13. महत्वपूर्ण परिणाम 14. त्वरित पुनरावृत्ति 15. अभ्यास प्रश्न 16. जरूरी प्रश्नोत्तर

1. त्रिकोणमिति का परिचय

गणित की वह शाखा जिसमें त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों का अध्ययन किया जाता है, त्रिकोणमिति कहलाती है। अंग्रेजी शब्द Trigonometry यूनानी शब्दों Tri (तीन), Gon (भुजा/कोण) और Metron (माप) से बना है। कक्षा 10 में मुख्यतः समकोण त्रिभुज के न्यूनकोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों का अध्ययन किया जाता है।

2. समकोण त्रिभुज में भुजाओं के नाम

ΔABC में ∠B=90° और ∠A=θ मानें। तब θ के सापेक्ष—

भुजा	अर्थ	चित्र में
कर्ण (Hypotenuse)	समकोण के सामने की सबसे लंबी भुजा	AC
लंब (Perpendicular)	दिए गए कोण θ के सामने की भुजा	BC
आधार (Base)	दिए गए कोण θ के पास की, कर्ण के अतिरिक्त भुजा	AB

महत्वपूर्ण: कर्ण नहीं बदलता, पर कोण बदलने पर लंब और आधार आपस में बदल जाते हैं।

3. छः त्रिकोणमितीय अनुपात

\sin θ = \frac{लंब}{कर्ण}, \cos θ = \frac{आधार}{कर्ण}

\tan θ = \frac{लंब}{आधार}, \cot θ = \frac{आधार}{लंब}

\sec θ = \frac{कर्ण}{आधार}, cosec θ = \frac{कर्ण}{लंब}

4. व्युत्क्रम और भागफल संबंध

\sin θ = \frac{1}{cosec θ}, \cos θ = \frac{1}{\sec θ}

\tan θ = \frac{1}{\cot θ} = \frac{\sin θ}{\cos θ}

\cot θ = \frac{\cos θ}{\sin θ}

अतः sin θ·cosec θ=1, cos θ·sec θ=1 और tan θ·cot θ=1।

5. लंब और आधार पहचानने का नियम

जिस कोण के लिए अनुपात निकालना हो, उसके ठीक सामने की भुजा लंब होती है। समकोण के सामने की भुजा कर्ण होती है। बची हुई भुजा आधार होती है। उदाहरणतः ∠A के लिए BC लंब और AB आधार है; ∠C के लिए AB लंब और BC आधार हो जाएगा।

6. पुस्तक-शैली के उदाहरण

उदाहरण 1: समकोण त्रिभुज ABC में ∠B=90°, AB=3, BC=4 और AC=5 है। ∠A के सभी अनुपात ज्ञात करें।∠A के सापेक्ष लंब=BC=4, आधार=AB=3 और कर्ण=AC=5।

\sin A = \frac{4}{5}, \cos A = \frac{3}{5}

\tan A = \frac{4}{3}, \cot A = \frac{3}{4}

\sec A = \frac{5}{3}, cosec A = \frac{5}{4}

उदाहरण 2: यदि लंब=8 तथा आधार=15 हो, तो sin θ और cos θ ज्ञात करें।पाइथागोरस प्रमेय से—

कर्ण = \sqrt{8^{2} + 15^{2}}

= \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17

\sin θ = \frac{8}{17}, \cos θ = \frac{15}{17}

7. विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात

0°, 30°, 45°, 60° और 90° को विशिष्ट कोण कहते हैं। इनके मान परीक्षा में सीधे तथा गणना दोनों रूपों में काम आते हैं।

8. त्रिकोणमितीय मान-सारणी

θ	0°	30°	45°	60°	90°
sin θ	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos θ	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	0
tan θ	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	अपरिभाषित
cosec θ	अपरिभाषित	2	$\sqrt{2}$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$	1
sec θ	1	$\frac{2}{\sqrt{3}}$	$\sqrt{2}$	2	अपरिभाषित
cot θ	अपरिभाषित	$\sqrt{3}$	1	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	0

याद रखने की विधि: sin θ के मान क्रमशः

\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}

हैं। cos θ के लिए यही क्रम उल्टा कर दें।

9. पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात

यदि दो कोणों का योग 90° हो, तो वे पूरक कोण कहलाते हैं।

\sin (90 °- θ) = \cos θ

\cos (90 °- θ) = \sin θ

\tan (90 °- θ) = \cot θ

\sec (90 °- θ) = cosec θ

10. मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

जो संबंध चर के प्रत्येक मान के लिए सत्य हो, उसे सर्वसमिका कहते हैं।

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

1 + \tan^{2} θ = \sec^{2} θ

1 + \cot^{2} θ = {cosec}^{2} θ

11. सर्वसमिकाओं की व्युत्पत्ति

प्रमाण: ΔABC में ∠B=90° और ∠A=θ मानें। पाइथागोरस प्रमेय से—लंब² + आधार² = कर्ण²दोनों पक्षों में कर्ण² से भाग देने पर—लंब²कर्ण²+आधार²कर्ण²=1sin2θ+cos2θ=1इसी समीकरण में cos²θ से भाग देने पर 1+tan²θ=sec²θ और sin²θ से भाग देने पर 1+cot²θ=cosec²θ प्राप्त होता है।

उदाहरण: सिद्ध करें कि

\frac{1 - \sin^{2} θ}{\cos^{2} θ} = 1

।बायाँ पक्ष—

\frac{1 - \sin^{2} θ}{\cos^{2} θ} = \frac{\cos^{2} θ}{\cos^{2} θ}

=1=दायाँ पक्ष। अतः सर्वसमिका सिद्ध हुई।

12. एक अनुपात से अन्य अनुपात ज्ञात करना

उदाहरण: यदि

\tan θ = \frac{3}{4}

, तो अन्य अनुपात ज्ञात करें।

\tan θ = \frac{लंब}{आधार} = \frac{3}{4}

लंब=3k तथा आधार=4k मानें।

कर्ण = \sqrt{{(3 k)}^{2} + {(4 k)}^{2}} = 5 k

\sin θ = \frac{3}{5}, \cos θ = \frac{4}{5}

\cot θ = \frac{4}{3}, \sec θ = \frac{5}{4}, cosec θ = \frac{5}{3}

13. महत्वपूर्ण परिणाम

दिया गया	प्राप्त परिणाम
sin²θ+cos²θ=1	sin²θ=1−cos²θ; cos²θ=1−sin²θ
1+tan²θ=sec²θ	sec²θ−tan²θ=1
1+cot²θ=cosec²θ	cosec²θ−cot²θ=1
0°<θ<90°	सभी अनुपात धनात्मक

tan 90°, sec 90°, cosec 0° और cot 0° अपरिभाषित हैं, क्योंकि इनके हर का मान शून्य हो जाता है।

14. त्वरित पुनरावृत्ति

\sin θ = \frac{P}{H}, \cos θ = \frac{B}{H}, \tan θ = \frac{P}{B}

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

1 + \tan^{2} θ = \sec^{2} θ, 1 + \cot^{2} θ = {cosec}^{2} θ

15. अभ्यास प्रश्न

यदि लंब=5 और आधार=12 हो, तो सभी त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करें।
sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° का मान ज्ञात करें।
यदि cos θ=12/13 हो, तो sin θ और tan θ ज्ञात करें।
सिद्ध करें कि (sec θ−tan θ)(sec θ+tan θ)=1।
sin 45° cos 45° का मान ज्ञात करें।

उत्तर देखें

(1) कर्ण=13; sin θ=5/13, cos θ=12/13, tan θ=5/12 (2) 1 (3) 5/13, 5/12 (4) sec²θ−tan²θ=1 (5) 1/2

16. परीक्षा के लिए जरूरी प्रश्नोत्तर

कर्ण की पहचान कैसे करें?

समकोण के ठीक सामने स्थित और त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा कर्ण होती है।

क्या त्रिकोणमितीय अनुपात त्रिभुज के आकार पर निर्भर करते हैं?

नहीं। समान कोण वाले समरूप समकोण त्रिभुजों में संगत भुजाओं के अनुपात समान रहते हैं।

tan 90° अपरिभाषित क्यों है?

tan θ=sin θ/cos θ और cos 90°=0 है। शून्य से भाग परिभाषित नहीं होता।

सर्वसमिका और समीकरण में क्या अंतर है?

सर्वसमिका अनुमत प्रत्येक मान के लिए सत्य होती है, जबकि समीकरण केवल कुछ निश्चित मानों के लिए सत्य होता है।

Class 10 Maths Chapter 8 Trigonometry Notes