BIHAR BOARD • CLASS 10 • MATHS

अध्याय 7 — निर्देशांक ज्यामिति

Coordinate Geometry — सम्पूर्ण परिभाषाएँ, सूत्र, व्युत्पत्ति एवं पुस्तक-शैली के हल

📚 विषय-सूची (Table of Contents)

1. भूमिका 2. कार्तीय निर्देशांक पद्धति 3. मुख्य शब्दावली 4. चतुर्थांश व चिह्न 5. बिंदु का आलेखन 6. दूरी सूत्र 7. दूरी सूत्र के उदाहरण 8. विभाजन सूत्र 9. आंतरिक विभाजन 10. मध्यबिंदु सूत्र 11. बाह्य विभाजन 12. केन्द्रक 13. त्रिभुज का क्षेत्रफल 14. समरेखता 15. उपयोगी प्रश्न 16. त्वरित पुनरावृत्ति 17. अभ्यास प्रश्न 18. जरूरी प्रश्नोत्तर

1. भूमिका

संख्या रेखा पर किसी वास्तविक संख्या की स्थिति एक संख्या से बताई जाती है, पर समतल में किसी बिंदु की स्थिति बताने के लिए दो संख्याओं की आवश्यकता होती है। समतल में बिंदुओं की स्थिति, दूरी, विभाजन तथा क्षेत्रफल का बीजगणितीय अध्ययन निर्देशांक ज्यामिति कहलाता है। इसे विश्लेषणात्मक ज्यामिति भी कहते हैं। इस पद्धति का विकास रेने देकार्त ने किया था।

2. कार्तीय निर्देशांक पद्धति

समतल में परस्पर लंब दो संख्या रेखाएँ खींचते हैं। क्षैतिज रेखा x-अक्ष, ऊर्ध्वाधर रेखा y-अक्ष तथा उनका प्रतिच्छेद बिंदु मूलबिंदु O कहलाता है।

3. मुख्य शब्दावली

शब्द	अर्थ
निर्देशांक (x, y)	बिंदु की स्थिति बताने वाला क्रमित युग्म
भुज / Abscissa	x-निर्देशांक
कोटि / Ordinate	y-निर्देशांक
मूलबिंदु	O(0,0)
x-अक्ष पर बिंदु	(x,0)
y-अक्ष पर बिंदु	(0,y)

ध्यान दें: (x,y) और (y,x) सामान्यतः अलग बिंदु हैं; निर्देशांकों का क्रम नहीं बदलना चाहिए।

4. चतुर्थांश और निर्देशांकों के चिह्न

चतुर्थांश	x का चिह्न	y का चिह्न	रूप
I	+	+	(+,+)
II	−	+	(−,+)
III	−	−	(−,−)
IV	+	−	(+,−)

उदाहरण: बिंदु A(−4,3), B(5,−2), C(−3,−6) और D(4,7) की स्थिति बताइए।A में x ऋणात्मक तथा y धनात्मक है, अतः A द्वितीय चतुर्थांश में है।B में x धनात्मक तथा y ऋणात्मक है, अतः B चतुर्थ चतुर्थांश में है।C में दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हैं, अतः C तृतीय चतुर्थांश में है।D प्रथम चतुर्थांश में है।

5. बिंदु का आलेखन

बिंदु P(x,y) को अंकित करने के लिए पहले मूलबिंदु से x-अक्ष पर x इकाई चलें। वहाँ से x-अक्ष के लंबवत y इकाई चलें। प्राप्त स्थान P होगा। धनात्मक दिशा दायाँ/ऊपर और ऋणात्मक दिशा बायाँ/नीचे होती है।

6. दो बिंदुओं के बीच दूरी

मान लें A(x₁,y₁) तथा B(x₂,y₂) दो बिंदु हैं। A और B से अक्षों के समानांतर रेखाएँ खींचने पर एक समकोण त्रिभुज बनता है, जिसकी भुजाएँ |x₂−x₁| और |y₂−y₁| हैं। पाइथागोरस प्रमेय से—

AB² = (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²∴

AB = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

मूलबिंदु O(0,0) से P(x,y) की दूरी:

OP = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

7. दूरी सूत्र के पुस्तक-शैली उदाहरण

उदाहरण 1: A(2,3) और B(8,11) के बीच दूरी ज्ञात करें।

AB = \sqrt{{(8 - 2)}^{2} + {(11 - 3)}^{2}}

= \sqrt{6^{2} + 8^{2}}

= \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100}

अतः AB = 10 इकाई।

उदाहरण 2: सिद्ध करें कि A(0,0), B(3,4), C(3,0) से बना त्रिभुज समकोण है।AB²=(3−0)²+(4−0)²=25AC²=(3−0)²+(0−0)²=9BC²=(3−3)²+(0−4)²=16AC²+BC²=9+16=25=AB²अतः ΔABC में ∠C=90°।

उदाहरण 3: x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात करें जो A(2,3) और B(−2,5) से समान दूरी पर हो।मान लें अपेक्षित बिंदु P(x,0) है।PA²=(x−2)²+(0−3)²PB²=(x+2)²+(0−5)²PA=PB ⇒ (x−2)²+9=(x+2)²+25x²−4x+13=x²+4x+29−8x=16 ⇒ x=−2अतः बिंदु P(−2,0) है।

8. रेखाखंड का विभाजन

यदि P बिंदु, A और B को जोड़ने वाले रेखाखंड को m:n के अनुपात में बाँटता है, तो AP:PB=m:n। P यदि A और B के बीच है तो आंतरिक विभाजन और बढ़ाई हुई रेखा पर है तो बाह्य विभाजन कहलाता है।

9. आंतरिक विभाजन सूत्र

P(x,y), A(x₁,y₁) और B(x₂,y₂) को m:n में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। अक्षों पर प्रक्षेपों के समान अनुपात से—

x = \frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}, y = \frac{m y_{2} + n y_{1}}{m + n}

उदाहरण: A(2,−3) और B(8,9) को 1:2 में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु P को ज्ञात करें।

x = \frac{1 \times 8 + 2 \times 2}{1 + 2} = \frac{12}{3} = 4

y = \frac{1 \times 9 + 2 \times (- 3)}{1 + 2} = \frac{3}{3} = 1

अतः P=(4,1)।

10. मध्यबिंदु सूत्र

मध्यबिंदु रेखाखंड को 1:1 में बाँटता है। आंतरिक विभाजन सूत्र में m=n=1 रखने पर—

M = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})

उदाहरण: A(−3,5) और B(7,−1) का मध्यबिंदु ज्ञात करें।

M = (\frac{- 3 + 7}{2}, \frac{5 - 1}{2})

M = (\frac{4}{2}, \frac{4}{2})

अतः M=(2,2)।

11. बाह्य विभाजन सूत्र

x = \frac{m x_{2} - n x_{1}}{m - n}, y = \frac{m y_{2} - n y_{1}}{m - n}

उदाहरण: A(1,2), B(5,6) को 3:1 में बाह्य रूप से विभाजित करने वाला बिंदु ज्ञात करें।

x = \frac{3 \times 5 - 1 \times 1}{3 - 1} = \frac{14}{2} = 7

y = \frac{3 \times 6 - 1 \times 2}{3 - 1} = \frac{16}{2} = 8

अतः P=(7,8)।

आंतरिक विभाजन में हर m+n तथा बाह्य विभाजन में हर m−n होता है।

12. त्रिभुज का केन्द्रक

त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ जिस बिंदु पर मिलती हैं, वह केन्द्रक G कहलाता है। केन्द्रक प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष की ओर से 2:1 में विभाजित करता है।

G = (\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}, \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3})

उदाहरण: A(1,2), B(4,8), C(7,5) का केन्द्रक ज्ञात करें।

G = (\frac{1 + 4 + 7}{3}, \frac{2 + 8 + 5}{3})

G = (\frac{12}{3}, \frac{15}{3})

अतः G=(4,5)।

13. त्रिभुज का क्षेत्रफल

A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃) के लिए—

क्षेत्रफल = \frac{1}{2} | x_{1} (y_{2} - y_{3}) + x_{2} (y_{3} - y_{1}) + x_{3} (y_{1} - y_{2}) |

उदाहरण: (3,4), (−4,3), (8,6) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।क्षेत्रफल=½|3(3−6)+(−4)(6−4)+8(4−3)|=½|−9−8+8|=½|−9|अतः क्षेत्रफल=

\frac{9}{2}

वर्ग इकाई।

यदि एक शीर्ष O(0,0) हो, तो क्षेत्रफल = ½|x₁y₂−x₂y₁|। ऋणात्मक मान आने पर उसका परम मान लिया जाता है।

14. तीन बिंदुओं की समरेखता

तीन बिंदु तभी समरेखीय होते हैं जब उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य हो।

x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)=0

उदाहरण: सिद्ध करें कि (3,3), (h,0), (0,k) समरेखीय होने की शर्त

\frac{1}{h} + \frac{1}{k} = \frac{1}{3}

है।3(0−k)+h(k−3)+0(3−0)=0−3k+hk−3h=0hk=3h+3kदोनों पक्षों में 3hk से भाग देने पर

\frac{1}{3} = \frac{1}{k} + \frac{1}{h}

अतः

\frac{1}{h} + \frac{1}{k} = \frac{1}{3}

।

15. महत्वपूर्ण उपयोग

प्रश्न का प्रकार	उपयोग
दो बिंदुओं की दूरी	दूरी सूत्र
त्रिभुज समद्विबाहु/समकोण	भुजाओं की दूरियों के वर्ग की तुलना
रेखाखंड का अनुपात	आंतरिक/बाह्य विभाजन सूत्र
विकर्णों का प्रतिच्छेद	मध्यबिंदु सूत्र
तीन बिंदुओं से क्षेत्रफल	निर्देशांक क्षेत्रफल सूत्र
बिंदु एक रेखा पर हैं या नहीं	क्षेत्रफल=0
चतुर्भुज का क्षेत्रफल	एक विकर्ण से दो त्रिभुजों में बाँटकर क्षेत्रफलों का योग

वास्तविक जीवन उदाहरण: P(2,25) और Q(8,20) दो स्थान हैं।PQ=√{(8−2)²+(20−25)²}=√(36+25)=√61मध्यबिंदु R=((2+8)/2,(25+20)/2)अतः दूरी √61 इकाई और मध्य स्थान R=(5,22.5) है।

16. त्वरित पुनरावृत्ति

दूरी: √{(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²}
मध्यबिंदु: ((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)
आंतरिक विभाजन: ((mx₂+nx₁)/(m+n),(my₂+ny₁)/(m+n))
बाह्य विभाजन: ((mx₂−nx₁)/(m−n),(my₂−ny₁)/(m−n))
केन्द्रक: ((x₁+x₂+x₃)/3,(y₁+y₂+y₃)/3)
क्षेत्रफल: ½|x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)|

17. अभ्यास प्रश्न

(−5,4), (3,−7), (−2,−6) के चतुर्थांश बताइए।
A(−1,2), B(5,10) की दूरी ज्ञात करें।
(2,−3) और (8,9) का मध्यबिंदु ज्ञात करें।
A(−2,4), B(7,1) को 2:1 में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाला बिंदु ज्ञात करें।
(1,1), (4,5), (7,9) की समरेखता जाँचें।
(−2,0), (2,0), (0,6) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

उत्तर देखें

(1) II, IV, III (2) 10 इकाई (3) (5,3) (4) (4,2) (5) समरेखीय (6) 12 वर्ग इकाई

18. परीक्षा के लिए जरूरी प्रश्नोत्तर

भुज और कोटि क्या हैं?

(x,y) में x को भुज और y को कोटि कहते हैं।

किसी अक्ष पर स्थित बिंदु किस चतुर्थांश में होता है?

किसी अक्ष पर स्थित बिंदु किसी भी चतुर्थांश में नहीं होता।

समरेखता की सबसे सरल जाँच क्या है?

तीनों बिंदुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें। क्षेत्रफल शून्य हो तो बिंदु समरेखीय हैं।

सूत्र में क्षेत्रफल का परम मान क्यों लेते हैं?

बिंदुओं के क्रम के कारण बीजीय मान ऋणात्मक हो सकता है, जबकि ज्यामितीय क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं होता।

Bihar Board Class 10 Maths Chapter 7 Notes – निर्देशांक ज्यामिति