Bihar Board Class 9 Maths समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल (Areas of Parallelograms and Triangles) Complete Notes in Hindi

Class 9 Mathematics
समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल
(Areas of Parallelograms and Triangles)

क्षेत्रफल की अवधारणा, समान आधार, समान समांतर रेखाएँ, महत्वपूर्ण क्षेत्रफल प्रमेय, सूत्र और हल प्रश्नों के व्यवस्थित नोट्स।

विषय-सूची / Table of Contents

1क्षेत्रफल का परिचय 2समतलीय क्षेत्र 3इकाइयाँ एवं अवधारणाएँ 4सर्वांगसम और समान क्षेत्रफल 5क्षेत्रफल के नियम 6मुख्य सूत्र 7समान आधार 8समान समांतर रेखाएँ 9समांतर चतुर्भुजों की स्थिति 10क्षेत्रफल प्रमेय 11विकर्ण और क्षेत्रफल 12त्रिभुजों की स्थिति 13त्रिभुज क्षेत्रफल प्रमेय 14क्षेत्रफलों का संबंध 15माध्यिका और क्षेत्रफल 16ऊँचाइयों का संबंध 17महत्वपूर्ण परिणाम 18हल उदाहरण 19अभ्यास प्रश्न 20त्वरित पुनरावृत्ति

1. क्षेत्रफल का परिचय / Introduction to Area

किसी सरल बंद आकृति द्वारा घेरे गए समतलीय भाग के माप को उस आकृति का क्षेत्रफल कहते हैं।

क्षेत्रफल यह बताता है कि कोई आकृति समतल पर कितना स्थान घेरती है। इसे हमेशा वर्ग इकाइयों में व्यक्त किया जाता है।

2. समतलीय क्षेत्र और क्षेत्रफल की परिभाषा

सरल बंद आकृति ऐसी बंद आकृति जिसकी सीमा स्वयं को प्रतिच्छेद नहीं करती।
समतलीय क्षेत्र सरल बंद आकृति की सीमा द्वारा घिरा हुआ तल का भाग।
क्षेत्रफल समतलीय क्षेत्र का संख्यात्मक माप।

3. क्षेत्रफल की इकाइयाँ एवं मूल अवधारणा

क्षेत्रफल की इकाई चुनी गई लंबाई की इकाई पर निर्भर करती है। यदि लंबाई सेंटीमीटर में है, तो क्षेत्रफल वर्ग सेंटीमीटर में होगा।

मुख्य इकाइयाँ: mm², cm², m² और km²
क्षेत्रफल लिखते समय वर्ग का चिह्न लगाना आवश्यक है। उदाहरण: 25 cm² सही है, जबकि 25 cm क्षेत्रफल की सही इकाई नहीं है।

4. सर्वांगसम और समान क्षेत्रफल वाली आकृतियाँ

महत्वपूर्ण तथ्य
सर्वांगसम आकृतियों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
यदि आकृति A ≅ आकृति B, तो ar(A) = ar(B)
इसका विलोम हमेशा सत्य नहीं है। समान क्षेत्रफल वाली दो आकृतियों का आकार अलग-अलग हो सकता है; इसलिए वे आवश्यक रूप से सर्वांगसम नहीं होंगी।

5. क्षेत्रफल के महत्वपूर्ण नियम / Axioms of Area

  1. सर्वांगसम आकृतियों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
  2. किसी आकृति को अलग-अलग भागों में बाँटने पर पूरी आकृति का क्षेत्रफल उन सभी भागों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
  3. समान क्षेत्रफलों में समान क्षेत्रफल जोड़ने पर प्राप्त क्षेत्रफल बराबर रहते हैं।
  4. समान क्षेत्रफलों में से समान क्षेत्रफल घटाने पर शेष क्षेत्रफल बराबर रहते हैं।

6. सरल आकृतियों के क्षेत्रफल के सूत्र

आकृति क्षेत्रफल
आयत लंबाई × चौड़ाई
वर्ग (भुजा)²
समांतर चतुर्भुज आधार × ऊँचाई
त्रिभुज ½ × आधार × ऊँचाई
समचतुर्भुज ½ × दोनों विकर्णों का गुणनफल
समलंब चतुर्भुज ½ × समानांतर भुजाओं का योग × ऊँचाई

7. समान आधार वाली आकृतियाँ / Figures on the Same Base

दो आकृतियाँ समान आधार पर स्थित कहलाती हैं यदि उनके आधार के रूप में एक ही रेखाखंड हो।
B C A D समान आधार BC

8. समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित आकृतियाँ

दो आकृतियाँ समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित कहलाती हैं यदि उनका आधार एक ही रेखा पर तथा उनके विपरीत शीर्ष दूसरी समानांतर रेखा पर हों।
समान समांतर रेखाओं के बीच की लंबवत दूरी समान होती है।

9. समान आधार और समान समांतर रेखाओं के बीच समांतर चतुर्भुज

यदि दो समांतर चतुर्भुजों का आधार समान है और वे समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं, तो दोनों की ऊँचाई भी समान होगी।

समान आधार

10. समांतर चतुर्भुजों का क्षेत्रफल प्रमेय

प्रमेय
समान आधार पर तथा समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
ar(ABCD) = ar(EBCF)

कारण यह है कि दोनों आकृतियों का आधार और ऊँचाई समान होते हैं तथा समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार × ऊँचाई होता है।

11. समांतर चतुर्भुज का विकर्ण और क्षेत्रफल

महत्वपूर्ण परिणाम
समांतर चतुर्भुज का प्रत्येक विकर्ण उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में बाँटता है।
ar(△ABC) = ar(△ACD) = ½ ar(ABCD)
दोनों त्रिभुजों का आधार समान माना जा सकता है और उनकी ऊँचाई समान समांतर रेखाओं के बीच होने के कारण बराबर होती है।

12. समान आधार और समान समांतर रेखाओं के बीच त्रिभुज

यदि दो त्रिभुज एक ही आधार पर स्थित हों और उनके तीसरे शीर्ष आधार के समानांतर एक ही रेखा पर हों, तो दोनों की ऊँचाई समान होती है।

समान आधार + समान ऊँचाई ⇒ समान क्षेत्रफल

13. समान आधार वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल प्रमेय

प्रमेय
समान आधार पर तथा समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
ar(△ABC) = ar(△DBC)

दोनों त्रिभुजों का आधार BC समान है और दोनों की ऊँचाई समान समांतर रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर है।

14. त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफलों का संबंध

समान आधार पर और समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
ar(△ABC) = ½ ar(ABCD)
ar(ABCD) = 2 × ar(△ABC)

15. माध्यिका द्वारा त्रिभुज का समान क्षेत्रफलों में विभाजन

त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में बाँटती है।
A B C D

यदि AD, △ABC की माध्यिका है, तो BD = DC होगा। इसलिए:

ar(△ABD) = ar(△ACD)

16. समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों की ऊँचाइयों का संबंध

समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों के आधार बराबर हों, तो उनकी संगत ऊँचाइयाँ भी बराबर होती हैं।

यदि ar(△ABC) = ar(△DEF) तथा BC = EF है, और उनकी संगत ऊँचाइयाँ AM तथा DN हैं, तो:

AM = DN

17. महत्वपूर्ण परिणाम एवं उपप्रमेय

  • सर्वांगसम आकृतियों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
  • समान आधार और समान ऊँचाई वाले समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
  • समान आधार और समान ऊँचाई वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
  • समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में बाँटता है।
  • त्रिभुज की माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में बाँटती है।
  • समान आधार और समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुज का क्षेत्रफल संबंधित समांतर चतुर्भुज का आधा होता है।

18. हल किए गए उदाहरण / Solved Examples

उदाहरण 1: समांतर चतुर्भुज का आधार 12 cm और ऊँचाई 7 cm है। क्षेत्रफल ज्ञात करें।

क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = 12 × 7
उत्तर: 84 cm²

उदाहरण 2: त्रिभुज का आधार 16 cm और ऊँचाई 9 cm है। क्षेत्रफल ज्ञात करें।

क्षेत्रफल = ½ × 16 × 9
उत्तर: 72 cm²

उदाहरण 3: किसी समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 120 cm² है। उसके विकर्ण से बने प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × 120
उत्तर: 60 cm²

उदाहरण 4: △ABC की माध्यिका AD है और △ABC का क्षेत्रफल 96 cm² है। △ABD का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो भागों में बाँटती है।
ar(△ABD) = ½ × 96
उत्तर: 48 cm²

19. महत्वपूर्ण अभ्यास प्रश्न

  1. समतलीय क्षेत्र और क्षेत्रफल की परिभाषा लिखिए।
  2. क्या समान क्षेत्रफल वाली दो आकृतियाँ हमेशा सर्वांगसम होती हैं?
  3. समान आधार वाली आकृतियों से क्या तात्पर्य है?
  4. समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित आकृतियों की परिभाषा लिखिए।
  5. समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल संबंधी प्रमेय लिखिए।
  6. सिद्ध कीजिए कि समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में बाँटता है।
  7. समान आधार वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल का प्रमेय लिखिए।
  8. त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफलों का संबंध लिखिए।
  9. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफलों में बाँटती है।
  10. समान क्षेत्रफल एवं समान आधार वाले त्रिभुजों की ऊँचाइयों में क्या संबंध है?

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न / FAQs

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या होता है?

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार × संगत ऊँचाई होता है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होता है?

त्रिभुज का क्षेत्रफल ½ × आधार × संगत ऊँचाई होता है।

क्या समान क्षेत्रफल वाली आकृतियाँ सर्वांगसम होती हैं?

आवश्यक नहीं। उनके क्षेत्रफल बराबर हो सकते हैं लेकिन आकार अलग हो सकता है।

त्रिभुज की माध्यिका क्षेत्रफल को किस प्रकार बाँटती है?

माध्यिका त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बाँटती है।

समांतर चतुर्भुज का विकर्ण क्या करता है?

वह समांतर चतुर्भुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।

20. सूत्र-संग्रह एवं त्वरित पुनरावृत्ति

  • समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई।
  • त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई।
  • समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × दोनों विकर्णों का गुणनफल।
  • सर्वांगसम आकृतियों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
  • समान आधार तथा समान समांतर रेखाओं के बीच बने समांतर चतुर्भुज समान क्षेत्रफल वाले होते हैं।
  • समान आधार तथा समान समांतर रेखाओं के बीच बने त्रिभुज समान क्षेत्रफल वाले होते हैं।
  • विकर्ण समांतर चतुर्भुज को बराबर क्षेत्रफलों में बाँटता है।
  • माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों में बाँटती है।
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